On peut exprimer que $(AB)$ est la médiatrice du segment $[MM']$ , mais on choisit ici d’utiliser le cours sur les similitudes. Cherchons donc à écrire la réflexion d’axe $(AB)$ en coordonnée complexe. Cette réflexion s’écrit $z\mapsto \alpha \bar z + \beta$ , avec $|\alpha|=1$ et $arg(\alpha)=2 arg(b-a)$ . On obtient donc $\alpha= \frac{b-a}{\overline b - \overline a}$ .

Pour déterminer $\beta$ , on peut exprimer le fait que $a$ est fixe: $a = \frac{b-a}{\overline b - \overline a} \bar a + \beta \Leftrightarrow \beta = \frac{a\overline b - b\overline a }{\overline b - \overline a}$ Finalement, la réflexion s’écrit: $z\mapsto \frac{b-a}{\overline b - \overline a} \cdot z + \frac{a\overline b - b\overline a }{\overline b - \overline a}.$

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