On peut exprimer que \((AB)\) est la médiatrice du segment \([MM']\), mais on choisit ici d’utiliser le cours sur les similitudes. Cherchons donc à écrire la réflexion d’axe \((AB)\) en coordonnée complexe. Cette réflexion s’écrit \(z\mapsto \alpha \bar z + \beta\), avec \(|\alpha|=1\) et \(arg(\alpha)=2 arg(b-a)\). On obtient donc \(\alpha= \frac{b-a}{\overline b - \overline a}\).

Pour déterminer \(\beta\), on peut exprimer le fait que \(a\) est fixe: \[a = \frac{b-a}{\overline b - \overline a} \bar a + \beta \Leftrightarrow \beta = \frac{a\overline b - b\overline a }{\overline b - \overline a}\] Finalement, la réflexion s’écrit: \[z\mapsto \frac{b-a}{\overline b - \overline a} \cdot z + \frac{a\overline b - b\overline a }{\overline b - \overline a}.\]

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