La réflexion d’axe d’équation $y=2x+1$ est représentée par une application de la forme $\C\to \C, z\mapsto a\overline z+b,$ où $a \in \C^*$ et $b\in \C$ sont des paramètres à déterminer. On sait que $a$ est le nombre complexe de module un dont l’argument est le double de l’angle entre l’axe des abscisses et l’axe de la réflexion. Donc dans ce cas, $a=e^{2i \arctan(2)}$ . On peut aussi calculer la forme algébrique de $a$ en écrivant $a=\frac{(1+2i)^2}{|(1+2i)^2|} = \frac{-3+4i}{5}$ .

Calculons $b$ . On peut par exemple injecter un affixe particulier $z$ et son image $z'$ dans l’équation $z'=\frac{-3+4i}{5} \overline z+b$ et obtenir $b$ . Le plus simple est de prendre l’affixe d’un point sur l’axe de la réflexion, qui est donc un point fixe de la réflexion. Prenons par exemple $z=i=z'$ . On obtient l’égalité $i =\frac{3-4i}{5} i+b$ , d’où $b=i\left(1-\frac{3-4i}{5}\right) = i\frac{2+4i}{5} = \frac{-4+2i}{5}$ .

Finalement, la réflexion d’axe d’équation $y=2x+1$ est représentée par l’application: $\C\to \C, z\mapsto \frac{(-3+4i)\overline z-4+2i}{5}.$

exo7 7146