Pour \((x,y)\in\Rr^2\), posons \(f(x,y) =x^2+2xy+y^2+3x-2y+1\) puis \(Q((x,y)) = x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2\). \(Q\) est de rang \(1\) et donc \((\Gamma)\) est du genre parabole c’est-à-dire soit une parabole, soit une réunion de deux droites parallèles éventuellement confondues, soit l’ensemble vide.

Si \((\Gamma)\) est non vide, \((\Gamma)\) est une conique est de direction asymptotique d’équation \(y = - x\) (fournie par \(Q(x,y)= 0\)).

1ère étude. On étudie l’intersection de \((\Gamma)\) avec une perpendiculaire quelconque à sa direction. Soit \((D_k)\) la droite d’équation \(y = x+k\), \(k\in\Rr\).

L’équation aux abscisses des points d’intersection de \((\Gamma)\) et \((D_k)\) est \(x^2+2x(x+k)+(x+k)^2+3x-2(x+k)+1=0\) ou encore

\(4x^2+(4k+1)x+k^2-2k+1=0\).

Le discriminant de cette équation est \(\Delta=(4k+1)^2-16(k^2-2k+1) = 40k-15\). Puisque ce discriminant change de signe, \((\Gamma)\) est une parabole.

Le discriminant est nul pour \(k=\frac{3}{8}\) ce qui founit la tangente au sommet \((T)\) : \(y=x+\frac{3}{8}\) et aussi le sommet :

\(x_S=-\frac{4\times\frac{3}{8}+1}{2\times4}= -\frac{5}{16}\) et \(y_S =x_S+\frac{3}{8}=\frac{1}{16}\).

Le sommet de la parabole \((\Gamma)\) est le point \(S\left(-\frac{5}{16},\frac{1}{16}\right)\).

L’axe focal est la perpendiculaire à la droite \((T)\) en \(S\). Une équation de l’axe focal \((\Delta)\) est \(y+\frac{5}{16}=-\left(x-\frac{1}{16}\right)\) ou encore \(y = -x-\frac{1}{4}\).

Pour obtenir le paramètre, le foyer et la directrice, on constate tout d’abord au vu du signe du discriminant calculé plus haut que \(F = S+\frac{p}{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) et \(K= S-\frac{p}{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\).

Il ne manque plus que le paramètre \(p\). Soit \(M\) l’un des deux points de \((\Gamma)\) situé sur la parallèle à la tangente au sommet passant par \(F\). La construction usuelle d’une parabole point par point montre que le quadrilatère \((M,F,K,H)\) est un carré. Le paramètre \(p\) cherché est alors \(p=FK=FM\).

Dans ce cas, la droite \((MK)\) est la tangente à \((\Gamma)\) en \(M\) et la bissectrice de l’angle des droites \((D)\) et \((\Delta)\). Cette tangente est donc parallèle à l’un des axes de coordonnées.

L’équation générale de la tangente en un point \((x_0,y_0)\) de \((\Gamma)\) est fournie par la règle de dédoublement des termes : \(xx_0+xy_0+x_0y+yy_0+\frac{3}{2}(x+ x_0)-(y+y_0)+1=0\) ou encore \(x\left(x_0+y_0+\frac{3}{2}\right)+y(x_0+y_0-1)+ x_0-y_0+1=0\). Cette tangente est parallèle à l’un des axes de coordonnées si et seulement si \(x_0+y_0+\frac{3}{2}=0\) ou \(x_0+y_0-1=0\).

\(M\) est donc sur l’une des deux droites \((\Delta_1)\) : \(x+y+\frac{3}{2}=0\) ou \((\Delta_2)\) : \(x+y-1=0\) qui sont toutes deux parallèles à l’axe focal \((\Delta)\) : \(x+y+\frac{1}{4}=0\).

\(p\) est donc aussi la distance de \((\Delta)\) à l’une quelconque de ces deux droites ou la distance d’un point quelconque de \((\Delta)\) à la droite \((\Delta_1)\). Comme le point de coordonnées \(\left(-\frac{1}{4},0\right)\) est sur \((\Delta)\),

\(p=\frac{\left|-\frac{1}{4}+0+\frac{3}{2}\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{5}{4\sqrt{2}}\)

puis \(F=S+\frac{5}{8\sqrt{2}}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\left(-\frac{5}{16}-\frac{5}{16},\frac{1}{16}+\frac{5}{16}\right)=\left(-\frac{5}{8},\frac{3}{8}\right)\) et \(K =S-\frac{5}{8\sqrt{2}}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\left(-\frac{5}{16}+\frac{5}{16},\frac{1}{16}-\frac{5}{16}\right)=\left(0,-\frac{1}{4}\right)\) de sorte que la directrice \((D)\) a pour équation \(y=x-\frac{1}{4}\).

\[\]

2ème étude. On pose \(X =\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)\) et \(Y=\frac{1}{\sqrt{2}}(-x+y)\) ou encore \(x=\frac{1}{\sqrt{2}}(X-Y)\) et \(y=\frac{1}{\sqrt{2}}(X+Y)\) ce qui correspond au changement de bases orthonormées de matrice \(P=\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \rule{0mm}{6mm}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)\). On note \((e_1,e_2)\) la famille de matrice \(P\) dans la base \((i,j)\). Déterminons une équation de \((\Gamma)\) dans le repère \(\mathcal{R}'=(O,e_1,e_2)\).

\[\begin{align*}\ensuremath (x+y)^2+3x-2y+1=0&\Leftrightarrow2X^2+\frac{3}{\sqrt{2}}(X-Y)-\frac{2}{\sqrt{2}}(X+Y)+1 = 0\Leftrightarrow2X^2+\frac{1}{\sqrt{2}}X-\frac{5}{\sqrt{2}}Y+1=0\\ &\Leftrightarrow2\left(X+\frac{1}{4\sqrt{2}}\right)^2-\frac{1}{16}-\frac{5}{\sqrt{2}}Y+1=0\Leftrightarrow\left(X+\frac{1}{4\sqrt{2}}\right)^2=\frac{5}{2\sqrt{2}}\left(Y-\frac{3}{8\sqrt{2}}\right). \end{align*}\]

Eléments de \((\Gamma)\) dans \(\mathcal{R}'\).

- \((\Gamma)\) est une parabole de sommet \(S\left(-\frac{1}{4\sqrt{2}},\frac{3}{8\sqrt{2}}\right)_{\mathcal{R}'}\).

- Paramètre \(p =\frac{5}{4\sqrt{2}}\). L’axe focal de \((\Gamma)\) est l’axe \((SY)\) et le foyer a une ordonnée strictement supérieure à \(Y_S\).

- Foyer \(F = S+\frac{5}{8\sqrt{2}}(0,1)_{\mathcal{R}'}=\left(-\frac{1}{4\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)_{\mathcal{R}'}\).

- Directrice \(K = S-\frac{5}{8\sqrt{2}}(0,1)_{\mathcal{R}'}=\left(-\frac{1}{4\sqrt{2}},-\frac{1}{4\sqrt{2}}\right)_{\mathcal{R}'}\) et donc \((D)\) : \(Y = -\frac{1}{4\sqrt{2}}\).

Eléments de la parabole \((\Gamma)\) dans le repère \(\mathcal{R}\).

- Paramètre \(p =\frac{5}{4\sqrt{2}}\). Sommet \(S=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}X_S-\frac{1}{\sqrt{2}}Y_S,\frac{1}{\sqrt{2}}X_S+\frac{1}{\sqrt{2}}Y_S\right)_{\mathcal{R}}=\left(-\frac{5}{16},\frac{1}{16}\right)_{\mathcal{R}}\).

- Le foyer \(F\) a pour coordonnées \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}X_F-\frac{1}{\sqrt{2}}Y_F,\frac{1}{\sqrt{2}}X_F+\frac{1}{\sqrt{2}}Y_F\right)_{\mathcal{R}}=\left(-\frac{5}{8},\frac{3}{8}\right)_{\mathcal{R}}\).

- La directrice \((D)\) a pour équation \(\frac{1}{\sqrt{2}}(-x+y)=-\frac{1}{4\sqrt{2}}\) et donc \(y = x-\frac{1}{4}\).

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