Pour $(x,y)\in\Rr^2$ , posons $f(x,y) =x^2+2xy+y^2+3x-2y+1$ puis $Q((x,y)) = x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2$ . $Q$ est de rang $1$ et donc $(\Gamma)$ est du genre parabole c’est-à-dire soit une parabole, soit une réunion de deux droites parallèles éventuellement confondues, soit l’ensemble vide.

Si $(\Gamma)$ est non vide, $(\Gamma)$ est une conique est de direction asymptotique d’équation $y = - x$ (fournie par $Q(x,y)= 0$ ).

1ère étude. On étudie l’intersection de $(\Gamma)$ avec une perpendiculaire quelconque à sa direction. Soit $(D_k)$ la droite d’équation $y = x+k$ , $k\in\Rr$ .

L’équation aux abscisses des points d’intersection de $(\Gamma)$ et $(D_k)$ est $x^2+2x(x+k)+(x+k)^2+3x-2(x+k)+1=0$ ou encore

$4x^2+(4k+1)x+k^2-2k+1=0$ .

Le discriminant de cette équation est $\Delta=(4k+1)^2-16(k^2-2k+1) = 40k-15$ . Puisque ce discriminant change de signe, $(\Gamma)$ est une parabole.

Le discriminant est nul pour $k=\frac{3}{8}$ ce qui founit la tangente au sommet $(T)$ : $y=x+\frac{3}{8}$ et aussi le sommet :

$x_S=-\frac{4\times\frac{3}{8}+1}{2\times4}= -\frac{5}{16}$ et $y_S =x_S+\frac{3}{8}=\frac{1}{16}$ .

Le sommet de la parabole $(\Gamma)$ est le point $S\left(-\frac{5}{16},\frac{1}{16}\right)$ .

L’axe focal est la perpendiculaire à la droite $(T)$ en $S$ . Une équation de l’axe focal $(\Delta)$ est $y+\frac{5}{16}=-\left(x-\frac{1}{16}\right)$ ou encore $y = -x-\frac{1}{4}$ .

Pour obtenir le paramètre, le foyer et la directrice, on constate tout d’abord au vu du signe du discriminant calculé plus haut que $F = S+\frac{p}{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ et $K= S-\frac{p}{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ .

Il ne manque plus que le paramètre $p$ . Soit $M$ l’un des deux points de $(\Gamma)$ situé sur la parallèle à la tangente au sommet passant par $F$ . La construction usuelle d’une parabole point par point montre que le quadrilatère $(M,F,K,H)$ est un carré. Le paramètre $p$ cherché est alors $p=FK=FM$ .

Dans ce cas, la droite $(MK)$ est la tangente à $(\Gamma)$ en $M$ et la bissectrice de l’angle des droites $(D)$ et $(\Delta)$ . Cette tangente est donc parallèle à l’un des axes de coordonnées.

L’équation générale de la tangente en un point $(x_0,y_0)$ de $(\Gamma)$ est fournie par la règle de dédoublement des termes : $xx_0+xy_0+x_0y+yy_0+\frac{3}{2}(x+ x_0)-(y+y_0)+1=0$ ou encore $x\left(x_0+y_0+\frac{3}{2}\right)+y(x_0+y_0-1)+ x_0-y_0+1=0$ . Cette tangente est parallèle à l’un des axes de coordonnées si et seulement si $x_0+y_0+\frac{3}{2}=0$ ou $x_0+y_0-1=0$ .

$M$ est donc sur l’une des deux droites $(\Delta_1)$ : $x+y+\frac{3}{2}=0$ ou $(\Delta_2)$ : $x+y-1=0$ qui sont toutes deux parallèles à l’axe focal $(\Delta)$ : $x+y+\frac{1}{4}=0$ .

$p$ est donc aussi la distance de $(\Delta)$ à l’une quelconque de ces deux droites ou la distance d’un point quelconque de $(\Delta)$ à la droite $(\Delta_1)$ . Comme le point de coordonnées $\left(-\frac{1}{4},0\right)$ est sur $(\Delta)$ ,

$p=\frac{\left|-\frac{1}{4}+0+\frac{3}{2}\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{5}{4\sqrt{2}}$

puis $F=S+\frac{5}{8\sqrt{2}}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\left(-\frac{5}{16}-\frac{5}{16},\frac{1}{16}+\frac{5}{16}\right)=\left(-\frac{5}{8},\frac{3}{8}\right)$ et $K =S-\frac{5}{8\sqrt{2}}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\left(-\frac{5}{16}+\frac{5}{16},\frac{1}{16}-\frac{5}{16}\right)=\left(0,-\frac{1}{4}\right)$ de sorte que la directrice $(D)$ a pour équation $y=x-\frac{1}{4}$ .

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2ème étude. On pose $X =\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)$ et $Y=\frac{1}{\sqrt{2}}(-x+y)$ ou encore $x=\frac{1}{\sqrt{2}}(X-Y)$ et $y=\frac{1}{\sqrt{2}}(X+Y)$ ce qui correspond au changement de bases orthonormées de matrice $P=\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \rule{0mm}{6mm}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$ . On note $(e_1,e_2)$ la famille de matrice $P$ dans la base $(i,j)$ . Déterminons une équation de $(\Gamma)$ dans le repère $\mathcal{R}'=(O,e_1,e_2)$ .

$\begin{align*}\ensuremath (x+y)^2+3x-2y+1=0&\Leftrightarrow2X^2+\frac{3}{\sqrt{2}}(X-Y)-\frac{2}{\sqrt{2}}(X+Y)+1 = 0\Leftrightarrow2X^2+\frac{1}{\sqrt{2}}X-\frac{5}{\sqrt{2}}Y+1=0\\ &\Leftrightarrow2\left(X+\frac{1}{4\sqrt{2}}\right)^2-\frac{1}{16}-\frac{5}{\sqrt{2}}Y+1=0\Leftrightarrow\left(X+\frac{1}{4\sqrt{2}}\right)^2=\frac{5}{2\sqrt{2}}\left(Y-\frac{3}{8\sqrt{2}}\right). \end{align*}$

Eléments de $(\Gamma)$ dans $\mathcal{R}'$ .

- $(\Gamma)$ est une parabole de sommet $S\left(-\frac{1}{4\sqrt{2}},\frac{3}{8\sqrt{2}}\right)_{\mathcal{R}'}$ .

- Paramètre $p =\frac{5}{4\sqrt{2}}$ . L’axe focal de $(\Gamma)$ est l’axe $(SY)$ et le foyer a une ordonnée strictement supérieure à $Y_S$ .

- Foyer $F = S+\frac{5}{8\sqrt{2}}(0,1)_{\mathcal{R}'}=\left(-\frac{1}{4\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)_{\mathcal{R}'}$ .

- Directrice $K = S-\frac{5}{8\sqrt{2}}(0,1)_{\mathcal{R}'}=\left(-\frac{1}{4\sqrt{2}},-\frac{1}{4\sqrt{2}}\right)_{\mathcal{R}'}$ et donc $(D)$ : $Y = -\frac{1}{4\sqrt{2}}$ .

Eléments de la parabole $(\Gamma)$ dans le repère $\mathcal{R}$ .

- Paramètre $p =\frac{5}{4\sqrt{2}}$ . Sommet $S=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}X_S-\frac{1}{\sqrt{2}}Y_S,\frac{1}{\sqrt{2}}X_S+\frac{1}{\sqrt{2}}Y_S\right)_{\mathcal{R}}=\left(-\frac{5}{16},\frac{1}{16}\right)_{\mathcal{R}}$ .

- Le foyer $F$ a pour coordonnées $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}X_F-\frac{1}{\sqrt{2}}Y_F,\frac{1}{\sqrt{2}}X_F+\frac{1}{\sqrt{2}}Y_F\right)_{\mathcal{R}}=\left(-\frac{5}{8},\frac{3}{8}\right)_{\mathcal{R}}$ .

- La directrice $(D)$ a pour équation $\frac{1}{\sqrt{2}}(-x+y)=-\frac{1}{4\sqrt{2}}$ et donc $y = x-\frac{1}{4}$ .

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