$(\Gamma)$ est l’intersection d’un cylindre parabolique de direction $(Oz)$ et d’un plan non perpendiculaire à la direction de ce cylindre. On choisit un repère orthonormé $\mathcal{R}'=(\Omega,X,Y,Z)$ dans lequel le plan d’équation $x+y+z-1= 0$ dans le repère $\mathcal{R}=(O,x,y,z)$ soit le plan $(\Omega,X,Y)$ ou encore le plan d’équation $Z=0$ dans le repère $\mathcal{R}'$ .

On pose donc $Z =\frac{1}{\sqrt{3}}(x+y+z-1)$ puis par exemple $X =\frac{1}{\sqrt{2}}(x-y)$ et $Y=\frac{1}{\sqrt{6}}(x+y-2z)$ ce qui s?écrit

$\left( \begin{array}{c} X\\ Y\\ Z \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{2}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \right)$

ou encore

$\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0&-\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} X\\ Y\\ Z \end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} \frac{1}{3}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} \end{array} \right)$

Dans le repère $\mathcal{R}'$ , la courbe $(\Gamma)$ admet pour système d’équations

$\left\{ \begin{array}{l} -\frac{1}{\sqrt{2}}X+\frac{1}{\sqrt{6}}Y+\frac{1}{\sqrt{3}}Z+\frac{1}{3}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}X+\frac{1}{\sqrt{6}}Y+\frac{1}{\sqrt{3}}Z+\frac{1}{3}\right)^2 +\left(\frac{1}{\sqrt{2}}X+\frac{1}{\sqrt{6}}Y+\frac{1}{\sqrt{3}}Z+\frac{1}{3}\right)+ 1\\ Z=0 \end{array} \right.$

ou encore

$\left\{ \begin{array}{l} -\frac{1}{\sqrt{2}}X+\frac{1}{\sqrt{6}}Y+\frac{1}{3}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}X+\frac{1}{\sqrt{6}}Y+\frac{1}{3}\right)^2 +\left(\frac{1}{\sqrt{2}}X+\frac{1}{\sqrt{6}}Y+\frac{1}{3}\right)+ 1\\ Z=0 \end{array} \right.$ .

Continuons à deux coordonnées $X$ et $Y$ dans le plan $(\Omega,X,Y)$ .

$\begin{align*}\ensuremath M(X,Y)\in(\Gamma)&\Leftrightarrow-\frac{1}{\sqrt{2}}X+\frac{1}{\sqrt{6}}Y+\frac{1}{3}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}X+\frac{1}{\sqrt{6}}Y+\frac{1}{3}\right)^2 +\left(\frac{1}{\sqrt{2}}X+\frac{1}{\sqrt{6}}Y+\frac{1}{3}\right)+ 1\\ &\Leftrightarrow\frac{1}{6}(\sqrt{3}X+Y)^2 + \frac{2}{3\sqrt{6}}(\sqrt{3}X+Y)+\frac{1}{9}+\sqrt{2}X+1=0\\ &\Leftrightarrow\frac{1}{6}(\sqrt{3}X+Y)^2+\frac{4\sqrt{2}}{3}X+\frac{2}{3\sqrt{6}}Y+\frac{10}{9}=0\\ &\Leftrightarrow(\sqrt{3}X+Y)^2+8\sqrt{2}X+\frac{2\sqrt{6}}{3}Y+\frac{20}{3}=0. \end{align*}$

On trouve déjà une conique du genre parabole. On pose maintenant $x'=\frac{1}{2}(\sqrt{3}X+Y)$ et $y'=\frac{1}{2}(-X+\sqrt{3}Y)$ correspondant aux formules de changement de repère $\left\{ \begin{array}{l} x'=\frac{1}{2}(\sqrt{3}X+Y)\\ \rule{0mm}{6mm}y'=\frac{1}{2}(-X+\sqrt{3}Y) \end{array} \right.$ ou encore $\left\{ \begin{array}{l} X=\frac{1}{2}(\sqrt{3}x'-y')\\ \rule{0mm}{6mm}Y=\frac{1}{2}(x'+\sqrt{3}y') \end{array} \right.$ .

Dans le repère $(\Omega,x',y')$ , une équation de la courbe $(\Gamma)$ est

$\begin{align*}\ensuremath (\sqrt{3}X+Y)^2+8\sqrt{2}X+\frac{2\sqrt{6}}{3}Y+\frac{20}{3}=0&\Leftrightarrow4x'^2+4\sqrt{2}(\sqrt{3}x'-y')+\frac{\sqrt{6}}{3}(x'+\sqrt{3}y')+\frac{20}{3}=0\\ &\Leftrightarrow x'^2+\frac{13}{2\sqrt{6}}x'-\frac{3}{2\sqrt{2}}y'+\frac{5}{3}=0\\ &\Leftrightarrow\left(x'+\frac{13}{4\sqrt{6}}\right)^2-\frac{3}{2\sqrt{2}}y'+\frac{5}{3}-\frac{169}{96}=0\Leftrightarrow\left(x'+\frac{13}{4\sqrt{6}}\right)^2=\frac{3}{2\sqrt{2}}\left(y'+\frac{1}{8\sqrt{2}}\right). \end{align*}$

$(\Gamma)$ est la parabole de paramètre $p=\frac{3}{4\sqrt{2}}$ et dont les éléments caractéristiques dans le repère $(\Omega,x',y')$ sont

$S\left(-\frac{13}{4\sqrt{6}},-\frac{1}{8\sqrt{2}}\right)$ , $F = S +\frac{p}{2}(0,1)=\left(-\frac{13}{4\sqrt{6}},-\frac{1}{8\sqrt{2}}\right)+\frac{3}{8\sqrt{2}}(0,1)=\left(-\frac{13}{4\sqrt{6}},\frac{1}{4\sqrt{2}}\right)$ puis $K= S-\frac{p}{2}(0,1)=\left(-\frac{13}{4\sqrt{6}},-\frac{1}{8\sqrt{2}}\right)-\frac{3}{8\sqrt{2}}(0,1)=\left(-\frac{13}{4\sqrt{6}},-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)$ et donc $(D)$ : $y'= -\frac{1}{2\sqrt{2}}$ .

On repasse maintenant dans le repère $(\Omega,X,Y)$ . $S$ a pour coordonnées $\frac{1}{2}\left( \begin{array}{cc} \sqrt{3}&-1\\ 1&\sqrt{3} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} -\frac{13}{4\sqrt{6}}\\ \rule{0mm}{6mm}-\frac{1}{8\sqrt{2}} \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} -\frac{25}{16\sqrt{2}}\\ \rule{0mm}{6mm}-\frac{29}{16\sqrt{6}} \end{array}\right)$ , $F$ a pour coordonnées $\frac{1}{2}\left( \begin{array}{cc} \sqrt{3}&-1\\ 1&\sqrt{3} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} -\frac{13}{4\sqrt{6}}\\ \rule{0mm}{6mm}\frac{1}{4\sqrt{2}} \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} -\frac{7}{4\sqrt{2}}\\ \rule{0mm}{6mm}-\frac{5}{4\sqrt{6}} \end{array}\right)$ puis $(D)$ a pour équation $-X+\sqrt{3}Y=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

On revient enfin au repère $(O,x,y,z)$ .

Le point $S$ a pour coordonnées $\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0&-\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} -\frac{25}{16\sqrt{2}}\\ \rule{0mm}{6mm}-\frac{29}{16\sqrt{6}}\\ \rule{0mm}{6mm}0 \end{array}\right)+\left( \begin{array}{c} \frac{1}{3}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -\frac{3}{4}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}\frac{13}{16}\\ \frac{15}{16} \end{array} \right)$ puis le point $F$ a pour coordonnées $\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0&-\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} -\frac{7}{4\sqrt{2}}\\ \rule{0mm}{6mm}-\frac{5}{4\sqrt{6}}\\ \rule{0mm}{6mm}0 \end{array}\right)+\left( \begin{array}{c} \frac{1}{3}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -\frac{3}{4}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}1\\ \frac{3}{4} \end{array} \right)$ et enfin

$(D)$ : $\left\{ \begin{array}{l} -\frac{1}{\sqrt{2}}(x-y)+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}(x+y-2z)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ x+y+z-1=0 \end{array} \right.$

(\Gamma)

est la parabole de paramètre

p=\frac{3}{4\sqrt{2}}

, de sommet

S\left(-\frac{3}{4},\frac{13}{16}, \frac{15}{16}\right)

, de foyer

F\left(-\frac{3}{4},1,\frac{3}{4}\right)

et de directrice

(D)

:

\left\{ \begin{array}{l} -y+z=\frac{1}{2}\\ x+y+z-1=0 \end{array} \right.

.

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