$\begin{align*}\ensuremath M(x,y,z)\in(\mathcal{C})&\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr,\;\exists m\in(C)/\;M = m +\lambda\overrightarrow{u}\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr,\;\exists t\in\Rr/\;\left\{ \begin{array}{l} x=a\cos t+\lambda\\ y=b\sin t\\ z=a\cos t\sin t+\lambda \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr,\;\exists t\in\Rr/\;\left\{ \begin{array}{l} \lambda=x-a\cos t\\ y=b\sin t\\ z=a\cos t\sin t+x-a\cos t \end{array} \right.\Leftrightarrow\exists t\in\Rr/\;\left\{ \begin{array}{l} y=b\sin t\\ z=a\cos t\sin t+x-a\cos t \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\exists t\in\Rr/\;\left\{ \begin{array}{l} y=b\sin t\\ z-x=a\cos t(\sin t-1) \end{array} \right.\Leftrightarrow\exists t\in\Rr/\;\left\{ \begin{array}{l} y=b\sin t\\ b(z-x)=a\cos t(y-b) \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow b^4(z-x)^2+y^2a^2(y-b)^2=a^2b^2(y-b)^2. \end{align*}$

En effet,

$\Rightarrow/$ s’il existe $t\in\Rr$ tel que $y=b\sin t$ et $b(z-x)=a\cos t(y-b)$ alors

$\begin{align*}\ensuremath b^4(z-x)^2+y^2a^2(y-b)^2&=b^2a^2\cos^2t(y-b)^2+b^2\sin^2ta^2(y-b)^2=a^2b^2(y-b)^2(\cos^2t+\sin^2t)\\ &=a^2b^2(y-b)^2. \end{align*}$

$\Leftarrow/$ Réciproquement, si $b^4(z-x)^2+y^2a^2(y-b)^2=a^2b^2(y-b)^2$ alors $b^4(z-x)^2=a^2(y-b)^2 (b^2-y^2)$ et donc

ou bien $y=b$ , ou bien $b^2-y^2\geqslant 0$ . Par suite, il existe un réel $t$ tel que $y = b\sin t=b\sin(\pi-t)$ puis

$\begin{align*}\ensuremath b^4(z-x)^2=a^2(y-b)^2 (b^2-y^2)&\Rightarrow b^4(z-x)^2=a^2(b\sin t-b)^2b^2\cos^2t\Rightarrow b(z-x) =\pm a\cos t(b\sin t-b)\\ &\Rightarrow b(z-x) = a\cos t(y-b)\;\text{ou}\;b(z-x) = a\cos(\pi-t)(y-b) \end{align*}$

et il existe un réel $t'$ tel que $y=b\sin t'$ et $b(z-x) = a\cos t'(y-b)$ .

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