\[\begin{align*}\ensuremath M(x,y,z)\in(\mathcal{C})&\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr,\;\exists m\in(C)/\;M = m +\lambda\overrightarrow{u}\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr,\;\exists t\in\Rr/\;\left\{ \begin{array}{l} x=a\cos t+\lambda\\ y=b\sin t\\ z=a\cos t\sin t+\lambda \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr,\;\exists t\in\Rr/\;\left\{ \begin{array}{l} \lambda=x-a\cos t\\ y=b\sin t\\ z=a\cos t\sin t+x-a\cos t \end{array} \right.\Leftrightarrow\exists t\in\Rr/\;\left\{ \begin{array}{l} y=b\sin t\\ z=a\cos t\sin t+x-a\cos t \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\exists t\in\Rr/\;\left\{ \begin{array}{l} y=b\sin t\\ z-x=a\cos t(\sin t-1) \end{array} \right.\Leftrightarrow\exists t\in\Rr/\;\left\{ \begin{array}{l} y=b\sin t\\ b(z-x)=a\cos t(y-b) \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow b^4(z-x)^2+y^2a^2(y-b)^2=a^2b^2(y-b)^2. \end{align*}\]

En effet,

\(\Rightarrow/\) s’il existe \(t\in\Rr\) tel que \(y=b\sin t\) et \(b(z-x)=a\cos t(y-b)\) alors

\[\begin{align*}\ensuremath b^4(z-x)^2+y^2a^2(y-b)^2&=b^2a^2\cos^2t(y-b)^2+b^2\sin^2ta^2(y-b)^2=a^2b^2(y-b)^2(\cos^2t+\sin^2t)\\ &=a^2b^2(y-b)^2. \end{align*}\]

\(\Leftarrow/\) Réciproquement, si \(b^4(z-x)^2+y^2a^2(y-b)^2=a^2b^2(y-b)^2\) alors \(b^4(z-x)^2=a^2(y-b)^2 (b^2-y^2)\) et donc

ou bien \(y=b\), ou bien \(b^2-y^2\geqslant 0\). Par suite, il existe un réel \(t\) tel que \(y = b\sin t=b\sin(\pi-t)\) puis

\[\begin{align*}\ensuremath b^4(z-x)^2=a^2(y-b)^2 (b^2-y^2)&\Rightarrow b^4(z-x)^2=a^2(b\sin t-b)^2b^2\cos^2t\Rightarrow b(z-x) =\pm a\cos t(b\sin t-b)\\ &\Rightarrow b(z-x) = a\cos t(y-b)\;\text{ou}\;b(z-x) = a\cos(\pi-t)(y-b) \end{align*}\]

et il existe un réel \(t'\) tel que \(y=b\sin t'\) et \(b(z-x) = a\cos t'(y-b)\).

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