Le discriminant de cette conique vaut $41\times34-12^2=1250>0$ . Il s’agit donc d’une conique du genre ellipse. On pose $\left\{ \begin{array}{l} x=\cos(\theta)X-\sin(\theta)Y\\ y=\sin(\theta)X+\cos(\theta)Y \end{array} \right.$ et on détermine $\theta$ (ou plutôt $\cos\theta$ et $\sin\theta$ ) de sorte que le terme en $XY$ disparaisse. Mais, le coefficient de $XY$ dans

$y=\frac{1}{x}$ vaut

$-82\cos\theta\sin\theta-24(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+68\cos\theta\sin\theta=-24(\cos^2\theta-\sin^2\theta) -14\cos\theta\sin\theta.$ Ce coefficient est nul si et seulement si $-12\cos^2\theta+12\sin^2\theta-7\cos\theta\sin\theta=0$ ou encore, après division par $\cos^2\theta$ , $12\tan^2\theta-7\tan\theta-12=0$ . On peut alors prendre $\tan\theta=\frac{4}{3}$ , puis on peut prendre $\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}=\frac{3}{5}$ et $\sin\theta=\cos\theta\tan\theta=\frac{3}{5}\frac{4}{3}=\frac{4}{5}$ .

Posons donc $\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{3X-4Y}{5}\\ y=\frac{4X+3Y}{5} \end{array}\right.$ $(*)$ . On a alors

$\begin{align*}\ensuremath 41x^2-24xy+34y^2-106x+92y+74&=\frac{1}{25}(41(3X-4Y)^2-24(3X-4Y)(4X+3Y)+34(4X+3Y)^2\\ &\;-530(3X-4Y)+460(4X+3Y)+1850)\\ &=\frac{1}{25}(625X^2+1250Y^2+250X+3500Y+1850)\\ &=25\left(X^2+2Y^2+\frac{2}{5}X+\frac{28}{5}Y+\frac{74}{25}\right) \end{align*}$ Une équation de la courbe dans le repère défini par $(*)$ est donc $X^2+2Y^2+\frac{2}{5}X+\frac{28}{5}Y+\frac{74}{25}=0$ . Ensuite,

$X^2+2Y^2+\frac{2}{5}X+\frac{28}{5}Y+\frac{74}{25}=0\Leftrightarrow\left(X+\frac{1}{5}\right)^2+2\left(Y+\frac{7}{5}\right)^2=1\Leftrightarrow\left(X+\frac{1}{5}\right)^2+\frac{\left(Y+\frac{7}{5}\right)^2}{\left(\sqrt{2}\right)^2}=1$ .

$\mathcal{C}$ est une ellipse. On trouve $a=1$ , $b=\sqrt{2}$ , $c=1$ $e=\frac{1}{\sqrt{2}}$ puis Centre $\Omega\left(1,-1\right)$ . Axe focal : $3x+4y+1=0$ et axe non focal : $-4x+3y+7=0$ .

Sommets : $A\left(\frac{8}{5},-\frac{1}{5}\right)$ , $A'\left(\frac{2}{5},-\frac{9}{5}\right)$ , $B\left(1-\frac{4\sqrt{2}}{5},-1+\frac{3\sqrt{2}}{5}\right)$ et $B'\left(1+\frac{4\sqrt{2}}{5},-1-\frac{3\sqrt{2}}{5}\right)$ .

Foyers : $F\left(\frac{1}{5},-\frac{2}{5}\right)$ et $F'\left(\frac{9}{5},-\frac{8}{5}\right)$ . Directrices : $4x-3y+3=0$ et $4x-3y+17=0$ .

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