La direction du cylindre est orthogonale au plan d’équation \(z=x\) et est donc engendrée par le vecteur \(\overrightarrow{u}(1,0,-1)\).

\[\begin{align*}\ensuremath M(x,y,z)\in(\mathcal{C})&\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr,\;\exists m\in(C)/\;M =m+\lambda\overrightarrow{u}\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr,\;\exists(X,Y,Z)\in\Rr^3/\;\left\{ \begin{array}{l} x=X-\lambda\\ y=Y\\ z=Z+\lambda\\ Z=X\\ 2X^2+Y^2=1 \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow \exists\lambda\in\Rr/\;\left\{ \begin{array}{l} z-\lambda=x+\lambda\\ 2(x+\lambda)^2+y^2=1 \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow 2\left(x+ \frac{1}{2}(z-x)\right)^2+y^2 =1\Leftrightarrow (x+z)^2+2y^2 = 2. \end{align*}\]

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