1
Droite de Simson. Soit \((A,B,C)\) un triangle et \(M\) un point du plan. Montrer que les projetés orthogonaux \(P\), \(Q\) et \(R\) de \(M\) sur les cotés \((BC)\), \((CA)\) et \((AB)\) du triangle \((ABC)\) sont alignés si et seulement si \(M\) est sur le cercle circonscrit à \((ABC)\). La droite passant par \(P\), \(Q\) et \(R\) s’appelle la droite de Simson du point \(M\) relativement au triangle \(ABC\) (ou au cercle \((ABC)\)).
2
Parabole tangente aux trois côtés d’un triangle. Lieu des foyers des paraboles tangentes à trois droites deux à deux non parallèles. En particulier, fournir la construction des points de contacts.