On cherche $(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j)\neq (0,...,0)$ tel que la surface $(\mathcal{S})$ d’équation $ax^2+by^2+cz^2+2dxy+2eyz+2fzx+2gx+2hy+2iz+j = 0$ contienne la parabole $(\mathcal{P})$ de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{t^2}{2}\\ y=t\\ z=0 \end{array} \right.$ , $t\in\Rr$ , la parabole $(\mathcal{P}')$ de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l} x=0\\ y=t\\ z=\frac{t^2}{2} \end{array} \right.$ , $t\in\Rr$ , et le point $A(2,3,2)$ .

$\begin{align*} (\mathcal{P})\subset(\mathcal{S})&\Leftrightarrow \forall t\in\Rr,\;\frac{a}{4}t^4+bt^2+dt^3+gt^2+2ht+j=0\Leftrightarrow \forall t\in\Rr,\;\frac{a}{4}t^4+dt^3+(b+g)t^2+2ht+j=0\\ &\Leftrightarrow a=d=h=j=0\;\text{et}\;g = -b. \end{align*}$

Donc $(\mathcal{P})$ est contenue dans $(\mathcal{S})$ si et seulement si $(\mathcal{S})$ a une équation de la forme $by^2+cz^2+2eyz+2fzx-2bx+2iz = 0$ avec $(b,c,e,f,i)\neq(0,0,0,0,0)$ .

$\begin{align*} (\mathcal{P'})\subset(\mathcal{S})&\Leftrightarrow \forall t\in\Rr,\;bt^2+\frac{c}{4}t^4+et^3+it^2=0\Leftrightarrow \forall t\in\Rr,\;\frac{c}{4}t^4+et^3+(b+i)t^2=0\\ &\Leftrightarrow c=e=0\;\text{et}\;i=-b. \end{align*}$

Donc $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{P}')$ sont contenues dans $(\mathcal{S})$ si et seulement si $(\mathcal{S})$ a une équation de la forme $by^2+2fzx-2bx-2bz = 0$ avec $(b,f)\neq(0,0)$ .

Enfin, $A\in(\mathcal{S})\Leftrightarrow 9b+8f-4b-4b = 0\Leftrightarrow b = -8f$ et $f\neq0$ . On trouve donc une et une seule quadrique à savoir la surface $(\mathcal{S})$ d’équation $-4y2+zx+8x+8z=0$ .

En posant $X=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+z)$ , $Y=y$ et $Z=\frac{1}{\sqrt{2}}(x-z)$ , on obtient

$\begin{align*}\ensuremath -4y2+zx+8x+8z&=-4Y^2+\frac{1}{2}(X+Z)(X-Z)+8\sqrt{2}X\\ &=\frac{1}{2}\left(X+8\sqrt{2}\right)^2-4Y^2+\frac{1}{2}Z^2 - 64. \end{align*}$

Dans le nouveau repère ainsi défini, une équation cartésienne de la surface $(\mathcal{S})$ est $\frac{1}{128}\left(X+8\sqrt{2}\right)^2-\frac{1}{16}Y^2+\frac{1}{128}Z^2=1$ et $(\mathcal{S})$ est un hyperboloïde à deux nappes.

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