On cherche \((a,b,c,d,e,f,g,h,i,j)\neq (0,...,0)\) tel que la surface \((\mathcal{S})\) d’équation \(ax^2+by^2+cz^2+2dxy+2eyz+2fzx+2gx+2hy+2iz+j = 0\) contienne la parabole \((\mathcal{P})\) de représentation paramétrique \(\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{t^2}{2}\\ y=t\\ z=0 \end{array} \right.\), \(t\in\Rr\), la parabole \((\mathcal{P}')\) de représentation paramétrique \(\left\{ \begin{array}{l} x=0\\ y=t\\ z=\frac{t^2}{2} \end{array} \right.\), \(t\in\Rr\), et le point \(A(2,3,2)\).

\[\begin{align*} (\mathcal{P})\subset(\mathcal{S})&\Leftrightarrow \forall t\in\Rr,\;\frac{a}{4}t^4+bt^2+dt^3+gt^2+2ht+j=0\Leftrightarrow \forall t\in\Rr,\;\frac{a}{4}t^4+dt^3+(b+g)t^2+2ht+j=0\\ &\Leftrightarrow a=d=h=j=0\;\text{et}\;g = -b. \end{align*}\]

Donc \((\mathcal{P})\) est contenue dans \((\mathcal{S})\) si et seulement si \((\mathcal{S})\) a une équation de la forme \(by^2+cz^2+2eyz+2fzx-2bx+2iz = 0\) avec \((b,c,e,f,i)\neq(0,0,0,0,0)\).

\[\begin{align*} (\mathcal{P'})\subset(\mathcal{S})&\Leftrightarrow \forall t\in\Rr,\;bt^2+\frac{c}{4}t^4+et^3+it^2=0\Leftrightarrow \forall t\in\Rr,\;\frac{c}{4}t^4+et^3+(b+i)t^2=0\\ &\Leftrightarrow c=e=0\;\text{et}\;i=-b. \end{align*}\]

Donc \((\mathcal{P})\) et \((\mathcal{P}')\) sont contenues dans \((\mathcal{S})\) si et seulement si \((\mathcal{S})\) a une équation de la forme \(by^2+2fzx-2bx-2bz = 0\) avec \((b,f)\neq(0,0)\).

Enfin, \(A\in(\mathcal{S})\Leftrightarrow 9b+8f-4b-4b = 0\Leftrightarrow b = -8f\) et \(f\neq0\). On trouve donc une et une seule quadrique à savoir la surface \((\mathcal{S})\) d’équation \(-4y2+zx+8x+8z=0\).

En posant \(X=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+z)\), \(Y=y\) et \(Z=\frac{1}{\sqrt{2}}(x-z)\), on obtient

\[\begin{align*}\ensuremath -4y2+zx+8x+8z&=-4Y^2+\frac{1}{2}(X+Z)(X-Z)+8\sqrt{2}X\\ &=\frac{1}{2}\left(X+8\sqrt{2}\right)^2-4Y^2+\frac{1}{2}Z^2 - 64. \end{align*}\]

Dans le nouveau repère ainsi défini, une équation cartésienne de la surface \((\mathcal{S})\) est \(\frac{1}{128}\left(X+8\sqrt{2}\right)^2-\frac{1}{16}Y^2+\frac{1}{128}Z^2=1\) et \((\mathcal{S})\) est un hyperboloïde à deux nappes.

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