Soit $r$ le rayon de $S$ et $h$ la distance du centre $I$ de $S$ à $P$ . On choisit un repère tel que $P = Oxy$ et $I = (0,0,h)$ . Soit $S'$ une sphère de centre $M(x,y,z)$ :

Pour $z > 0$ : $S$ et $S'$ extérieures $\Leftrightarrow 2(h+r)z = h^2-r^2+x^2+y^2$ .

$S$ à l’intérieur de $S'$ $\Leftrightarrow 2(h-r)z = h^2-r^2+x^2+y^2$ si $h > r$ .

$S'$ à l’intérieur de $S$ $\Leftrightarrow 2(h-r)z = h^2-r^2+x^2+y^2$ si $h < r$ .

Pour $z < 0$ : $S$ et $S'$ extérieures $\Leftrightarrow 2(h-r)z = h^2-r^2+x^2+y^2$ si $h < r$ .

$S'$ à l’intérieur de $S$ $\Leftrightarrow 2(h+r)z = h^2-r^2+x^2+y^2$ si $h < r$ .

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