Soit \(r\) le rayon de \(S\) et \(h\) la distance du centre \(I\) de \(S\) à \(P\). On choisit un repère tel que \(P = Oxy\) et \(I = (0,0,h)\). Soit \(S'\) une sphère de centre \(M(x,y,z)\) :

Pour \(z > 0\) : \(S\) et \(S'\) extérieures \(\Leftrightarrow 2(h+r)z = h^2-r^2+x^2+y^2\).

\(S\) à l’intérieur de \(S'\) \(\Leftrightarrow 2(h-r)z = h^2-r^2+x^2+y^2\) si \(h > r\).

\(S'\) à l’intérieur de \(S\) \(\Leftrightarrow 2(h-r)z = h^2-r^2+x^2+y^2\) si \(h < r\).

Pour \(z < 0\) : \(S\) et \(S'\) extérieures \(\Leftrightarrow 2(h-r)z = h^2-r^2+x^2+y^2\) si \(h < r\).

\(S'\) à l’intérieur de \(S\) \(\Leftrightarrow 2(h+r)z = h^2-r^2+x^2+y^2\) si \(h < r\).

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