Soit $A(a,b,c)$ un point quelconque de l’espace $E_3$ .

Déterminons un système d’équation du cercle $(C_A)$ d’axe $(\Delta)$ d’équations $x=y=z$ passant par $A$ .

Ce cercle est par exemple l’intersection du plan passant par $A$ de vecteur normal $(1,1,1)$ et de la sphère de centre $O$ et de rayon $OA$ .

Un système d’équations de $(C_A)$ est $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=a+b+c\\\ x^2+y^2+z^2=a^2+b^2+c^2 \end{array} \right.$ .

Déterminons alors une équation cartésienne de la surface $\mathcal{S}$ . Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un point $M(x,y,z)$ soit un point de $(\mathcal{S})$ est $(C_M)\cap(\mathcal{D})\neq\varnothing$ . Donc

$\begin{align*} M\in(\mathcal{S})&\Leftrightarrow\exists(\alpha,\beta,\gamma)\in\Rr^3/\;\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=\alpha+\beta+\gamma\\ x^2+y^2+z^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\\ \alpha=\gamma+2\\ \beta=2\gamma+1 \end{array} \right.\Leftrightarrow\exists(\alpha,\beta,\gamma)\in\Rr^3/\;\left\{ \begin{array}{l} \alpha=\gamma+2\\ \beta=2\gamma+1\\ x+y+z=\gamma+2+2\gamma+1+\gamma\\ x^2+y^2+z^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow\exists(\alpha,\beta,\gamma)\in\Rr^3/\;\left\{ \begin{array}{l} \alpha=\gamma+2\\ \beta=2\gamma+1\\ \gamma=\frac{1}{4}(x+y+z-3)\\ x^2+y^2+z^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2 =\left(\frac{1}{4}(x+y+z-3)+2\right)^2 +\left(\frac{2}{4}(x+y+z-3)+1\right)^2 +\left(\frac{1}{4}(x+y+z-3)\right)^2\\ &\Leftrightarrow16(x^2+y^2+z^2) =(x+y+z+5)^2+4(x+y+z-1)^2+(x+y+z-3)^2 \\ &\Leftrightarrow16(x^2+y^2+z^2) = 6(x+y+z)^2-2(x+y+z) + 38\\ &\Leftrightarrow5(x^2+y^2+z^2) -6(xy+yz+zx)-(x+y+z)-19 = 0. \end{align*}$

Une équation cartésienne de $(\mathcal{S})$ est $5(x^2+y^2+z^2) -6(xy+yz+zx)-(x+y+z)-19 = 0$ .

La matrice de la forme quadratique $(x,y,z)\mapsto5(x^2+y^2+z^2) -6(xy+yz+zx)$ dans la base canonique de $\Rr^3$ est $\left( \begin{array}{ccc} 5&-3&-3\\ -3&5&-3\\ -3&-3&5 \end{array} \right)$ . Ses valeurs propres sont $8$ , valeur propre d’ordre $2$ associée au plan d’équation $x+y+z=0$ et $-1$ valeur propre d’ordre $1$ associé à la droite d’équation. Dans le repère $\left(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}\right)$ où $\overrightarrow{e_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)$ , $\overrightarrow{e_2}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)$ et $\overrightarrow{e_3}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$

$M\in(\mathcal{S})\Leftrightarrow8x'^2+8y'^2-z'^2-\sqrt{3}z'-19=0\Leftrightarrow8\left(x'-\frac{\sqrt{3}}{16}\right)^28y'^2-z'^2=19+\frac{3}{32}$ .

La surface $(\mathcal{S})$ est un hyperboloïde à une nappe.

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