\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-type \(\sigma\).
On reprend le contexte de la consommation maximale en oxygène, en ml/kg/min. Les mesures de \(n\) malades sont modélisées par des variables indépendantes de loi \(\mathcal N(\mu,\sigma)\), avec \(\sigma=6\) connu. On teste \(H_0:\mu=25{,}5\) contre \(H_1:\mu<25{,}5\) au risque \(\alpha=5\%\), en rejetant \(H_0\) lorsque la moyenne observée est inférieure ou égale à la moyenne critique \(\mu_c\).
Pour \(n=15\), exprimer la puissance \(\pi(\mu_1)=\mathbb P_{\mu_1}(\overline X\leq\mu_c)\) en fonction de \(\mu_1<25{,}5\), à l’aide de la fonction de répartition \(\Phi\) de la loi normale centrée réduite.
Au tableur, calculer \(\pi(\mu_1)\) pour \(\mu_1\) allant de \(20\) à \(25{,}5\) par pas de \(0{,}5\), puis tracer la courbe de puissance. Comment évolue la puissance lorsque \(\mu_1\) s’éloigne de \(25{,}5\) ?
Quelle taille d’échantillon \(n\) faut-il pour que la puissance atteigne au moins \(90\%\) lorsque \(\mu=23{,}5\), toujours au risque \(\alpha=5\%\) ?
Quels sont les leviers qui augmentent la puissance d’un test ? Lequel est le plus coûteux en pratique ?