\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-type \(\sigma\).
Soient \(X_1,\ldots,X_n\) indépendantes de loi \(\mathcal N(\mu,\sigma)\), \(\sigma>0\). On suppose \(n\geq2\) et les observations \(x_i\) non toutes égales. La densité est \(f(x)=(\sigma\sqrt{2\pi})^{-1}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\).
1
Exprimer la fonction de vraisemblance \(L(x_1,\ldots,x_n,\mu,\sigma)\), puis son logarithme.
2
Dériver \(\ln L(x_1,\ldots,x_n,\mu,\sigma)\) par rapport à \(\mu\).
3
En déduire une estimation et un estimateur de \(\mu\).
4
Déterminer une estimation et un estimateur de \(\sigma\) avec une démarche analogue.