On s’intéresse à la consommation maximale en oxygène d’un individu dans une population âgée, en ml/kg/min. Pour un groupe de contrôle, il a été montré que les mesures suivent une loi normale d’espérance \(25{,}5\) et d’écart-type \(\sigma=6\). On pense qu’une population de malades (Parkinson) a des capacités cardio-respiratoires plus limitées. On souhaite tester si, dans ce groupe, l’espérance \(\mu\) est plus faible. On modélise les mesures de \(15\) malades par des variables \(X_1,\ldots,X_{15}\) indépendantes de loi \(\mathcal N(\mu,\sigma)\) ; on admet que l’écart-type vaut aussi \(\sigma=6\) chez les malades et qu’il est connu. On prend un risque de première espèce \(\alpha=5\%\).
L’objectif est de décider entre \(H_0:\mu=25{,}5\) (absence d’effet de la maladie) et \(H_1:\mu<25{,}5\) (existence de l’effet). On note \(\overline X=\frac1{15}\sum_{i=1}^{15}X_i\) la moyenne empirique des mesures.
La moyenne observée dans l’échantillon est \(24{,}0\). Quelle est la décision à prendre à la suite de ce test ?
Déterminer la moyenne critique \(\mu_c\), c’est-à-dire la valeur observée en deçà de laquelle le test conduit à un rejet de \(H_0\).
La professeure responsable du service pense qu’à partir de la valeur \(\mu=23{,}5\), la différence est cliniquement importante. Elle souhaite savoir quel risque elle prend en ne rejetant pas \(H_0\) lorsque \(\mu=23{,}5\).
Quelle est la loi de \(\overline X\) lorsque \(\mu=23{,}5\) ?
En déduire le risque de deuxième espèce et la puissance de ce test pour \(\mu=23{,}5\). Commenter le résultat.