L1 Analyse Continuité, limite et étude de fonctions réelles Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST 3 questions

exo7 682

Soit $f : [0,1]\longrightarrow \R$ définie par $f(0)=0$ , $f(x)=1/2-x$ si $x\in ]0,1/2[$ , $f(1/2)=1/2$ , $f(x)=3/2-x$ si $x\in ]1/2,1[$ et $f(1)=1$ .

Tracer le graphe de $f$ . Étudier sa continuité.

Démontrer que $f$ est une bijection de $[0,1]$ sur $[0,1]$ .

Démontrer que pour tout $x\in [0,1]$ , on a $f(x)= \frac{1}{2}-x+\frac{1}{2}E(2x)-\frac{1}{2}E(1-2x)$ .