Soit \(I\) une partie non vide de \(\R\) vérifiant la propriété suivante : \[\forall~x\in I,\,\forall~y\in I,\, x\leq y \implies \left[x,\,y\right] \subset I\] L’objectif est de démontrer que \(I\) est un intervalle.
1
On suppose que \(I\) est majorée et non minorée.
Montrer qu’il existe un réel \(a\) tel que \(I~\subset \left]-\infty,\,a\right]\).
Soit \(x\in \left]-\infty,\,a\right[\). Montrer qu’il existe \(y\) et \(z\) dans \(I\) tels que \(y\leq x\leq z\).
En déduire que \(\left]-\infty,\,a\right[\subset I\) puis que \(I\) est un intervalle.
2
Traiter de même les trois autres cas.