Si $x>1$ , $[x,x^2]\subset]1,+\infty[$ et $t\mapsto\frac{1}{\ln t}$ est continue sur $]1,+\infty[$ . Par suite, $\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}$ existe. De plus,

$x\int_{x}^{x^2}\frac{1}{t\ln t}\;dt\leq\int_{x}^{x^2}\leq\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}=\int_{x}^{x^2}t\frac{1}{t\ln t}\;dt\leq x^2\int_{x}^{x^2}\frac{1}{t\ln t}\;dt.$

Mais,

$\int_{x}^{x^2}\frac{1}{t\ln t}\;dt=\left[\ln|\ln t|\right]_{x}^{x^2}=\ln|\ln(x^2)|-\ln|\ln(x)|=\ln\left|\frac{2\ln x}{\ln x}\right|=\ln2.$

Donc, $\forall x>1,\;x\ln2\leq F(x)\leq x^2\ln2$ . On en déduit que $\lim_{x\rightarrow 1,\;x>1}F(x)=\ln2$ .

Si $0<x<1$ , on a $x^2<x$ puis $[x^2,x]\subset]0,1[$ . Donc, $t\mapsto\frac{1}{\ln t}$ est continue sur $[x^2,x]$ et $F(x)=-\int_{x^2}^{x}\frac{1}{\ln t}\;dt$ existe.

Pour $t\in[x^2,x]$ , on a $t\ln t<0$ et $x^2\leq t\leq x$ . Par suite,

$x\frac{1}{t\ln t}\leq t\frac{1}{t\ln t}=\frac{1}{\ln t}\leq x^2\frac{1}{t\ln t},$

puis, $\int_{x^2}^{x}x\frac{1}{t\ln t}\;dt\leq\int_{x^2}^{x}\frac{1}{\ln t}\;dt\leq\int_{x^2}^{x}x^2\frac{1}{t\ln t}\;dt$ , et finalement,

$x^2\ln2=\int_{x}^{x^2}x^2\frac{1}{t\ln t}\;dt\leq F(x)=\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dt\leq\int_{x}^{x^2}x\frac{1}{t\ln t}\;dt=x\ln 2.$

On obtient alors $\lim_{x\rightarrow 1,\;x<1}F(x)=\ln2$ et finalement, $\lim_{x\rightarrow 1}F(x)=\ln2$ . On en déduit que $F$ se prolonge par continuité en $1$ en posant $F(1)=\ln 2$ (on note encore $F$ le prolongement obtenu). On a déjà vu que $F$ est définie (au moins) sur $]0,+\infty[$ ( $F$ désignant le prolongement). Il ne parait pas encore possible de donner un sens à $F(0)$ et encore moins à $F(x)$ quand $x<0$ , car alors $[x,0]$ est un intervalle de longueur non nulle contenu dans $[x,x^2]$ , sur lequel la fonction $t\mapsto\frac{1}{\ln t}$ n’est même pas définie.

$D_F=]0,+\infty[.$

Pour $t\in]0,1[\cup]1,+\infty[$ , posons $g(t)=\frac{1}{\ln t}$ et notons $G$ une primitive de $g$ sur cet ensemble. Alors, pour $x$ dans $]0,1[\cup]1,+\infty[$ , $F(x)=G(x^2)-G(x)$ . On en déduit que $F$ est dérivable (et même de classe $C^1$ ) sur $]0,1[\cup]1,+\infty[$ et que pour $x$ dans $]0,1[\cup]1,+\infty[$ ,

$F'(x)=2xg(x^2)-g(x)=\frac{2x}{\ln(x^2)}-\frac{1}{\ln x}=\frac{x-1}{\ln x}.$

Maintenant, quand $x$ tend vers $1$ , $\frac{x-1}{\ln x}$ tend vers $1$ . Ainsi, $F$ est continue sur $]0,+\infty[$ , de classe $C^1$ sur $]0,1[\cup]1,+\infty[$ et $F'$ a une limite réelle en $1$ . Un théorème classique d’analyse permet d’affirmer que $F$ est de classe $C^1$ sur $D_F$ et en particulier, dérivable en $1$ avec $F'(1)=1$ .

$\forall x\in]0,+\infty[,\;F'(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{x-1}{\ln x}\;\mbox{si}\;x\neq1\\ 1\;\mbox{si}\;x=1. \end{array} \right..$

Si $x>1$ , $x-1>0$ et $\ln x>0$ et si $0<x<1$ , $x-1<0$ et $\ln x<0$ . Dans tous les cas ( $0<x<1$ , $x=1$ , $x>1$ ) $F'(x)>0$ . $F$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ .

On a vu que $\forall x>1,\;F(x)>x\ln2$ et donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)=+\infty$ . Plus précisément, pour $x>1$ ,

$\frac{F(x)}{x}=\frac{1}{x}\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dt\geq\frac{x^2-x}{x\ln x}=\frac{x-1}{\ln x}.$

Comme $\frac{x-1}{\ln x}$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ , on en déduit que $\frac{F(x)}{x}$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ et donc que la courbe représentative de $F$ admet en $+\infty$ une branche parabolique de direction $(Oy)$ .

Pour $x\in]0,1[$ et $t\in[x^2,x]$ , on a $2\ln x=\ln(x^2)\leq\ln t\leq\ln x<0$ et donc $\frac{1}{\ln x}\leq\frac{1}{\ln t}\leq\frac{1}{2\ln x}$ , puis $(x-x^2)\frac{1}{\ln x}\leq\int_{x^2}^{x}\frac{1}{\ln t}\;dt\leq(x-x^2)\frac{1}{2\ln x}$ et finalement,

$\forall x\in]0,1[,\;\frac{x-x^2}{-2\ln x}\leq F(x)\leq\frac{x-x^2}{-\ln x}.$

On obtient déjà $\lim_{x\rightarrow 0}F(x)=0$ . On peut prolonger $F$ par continuité en $0$ en posant $F(0)=0$ . Ensuite, $\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\frac{F(x)}{x}$ est compris entre $\frac{1-x}{-2\ln x}$ et $\frac{1-x}{-\ln x}$ . Comme ces deux expressions tendent vers $0$ quand $x$ tend vers $0$ , on en déduit que $\frac{F(x)-F(0)}{x-0}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$ . $F$ est donc dérivable en $0$ et $F'(0)=0$ .

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