Si \(x>1\), \([x,x^2]\subset]1,+\infty[\) et \(t\mapsto\frac{1}{\ln t}\) est continue sur \(]1,+\infty[\). Par suite, \(\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}\) existe. De plus,

\[x\int_{x}^{x^2}\frac{1}{t\ln t}\;dt\leq\int_{x}^{x^2}\leq\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}=\int_{x}^{x^2}t\frac{1}{t\ln t}\;dt\leq x^2\int_{x}^{x^2}\frac{1}{t\ln t}\;dt.\]

Mais,

\[\int_{x}^{x^2}\frac{1}{t\ln t}\;dt=\left[\ln|\ln t|\right]_{x}^{x^2}=\ln|\ln(x^2)|-\ln|\ln(x)|=\ln\left|\frac{2\ln x}{\ln x}\right|=\ln2.\]

Donc, \(\forall x>1,\;x\ln2\leq F(x)\leq x^2\ln2\). On en déduit que \(\lim_{x\rightarrow 1,\;x>1}F(x)=\ln2\).

Si \(0<x<1\), on a \(x^2<x\) puis \([x^2,x]\subset]0,1[\). Donc, \(t\mapsto\frac{1}{\ln t}\) est continue sur \([x^2,x]\) et \(F(x)=-\int_{x^2}^{x}\frac{1}{\ln t}\;dt\) existe.

Pour \(t\in[x^2,x]\), on a \(t\ln t<0\) et \(x^2\leq t\leq x\). Par suite,

\[x\frac{1}{t\ln t}\leq t\frac{1}{t\ln t}=\frac{1}{\ln t}\leq x^2\frac{1}{t\ln t},\]

puis, \(\int_{x^2}^{x}x\frac{1}{t\ln t}\;dt\leq\int_{x^2}^{x}\frac{1}{\ln t}\;dt\leq\int_{x^2}^{x}x^2\frac{1}{t\ln t}\;dt\), et finalement,

\[x^2\ln2=\int_{x}^{x^2}x^2\frac{1}{t\ln t}\;dt\leq F(x)=\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dt\leq\int_{x}^{x^2}x\frac{1}{t\ln t}\;dt=x\ln 2.\]

On obtient alors \(\lim_{x\rightarrow 1,\;x<1}F(x)=\ln2\) et finalement, \(\lim_{x\rightarrow 1}F(x)=\ln2\). On en déduit que \(F\) se prolonge par continuité en \(1\) en posant \(F(1)=\ln 2\) (on note encore \(F\) le prolongement obtenu). On a déjà vu que \(F\) est définie (au moins) sur \(]0,+\infty[\) (\(F\) désignant le prolongement). Il ne parait pas encore possible de donner un sens à \(F(0)\) et encore moins à \(F(x)\) quand \(x<0\), car alors \([x,0]\) est un intervalle de longueur non nulle contenu dans \([x,x^2]\), sur lequel la fonction \(t\mapsto\frac{1}{\ln t}\) n’est même pas définie.

\[D_F=]0,+\infty[.\]

Pour \(t\in]0,1[\cup]1,+\infty[\), posons \(g(t)=\frac{1}{\ln t}\) et notons \(G\) une primitive de \(g\) sur cet ensemble. Alors, pour \(x\) dans \(]0,1[\cup]1,+\infty[\), \(F(x)=G(x^2)-G(x)\). On en déduit que \(F\) est dérivable (et même de classe \(C^1\)) sur \(]0,1[\cup]1,+\infty[\) et que pour \(x\) dans \(]0,1[\cup]1,+\infty[\),

\[F'(x)=2xg(x^2)-g(x)=\frac{2x}{\ln(x^2)}-\frac{1}{\ln x}=\frac{x-1}{\ln x}.\]

Maintenant, quand \(x\) tend vers \(1\), \(\frac{x-1}{\ln x}\) tend vers \(1\). Ainsi, \(F\) est continue sur \(]0,+\infty[\), de classe \(C^1\) sur \(]0,1[\cup]1,+\infty[\) et \(F'\) a une limite réelle en \(1\). Un théorème classique d’analyse permet d’affirmer que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(D_F\) et en particulier, dérivable en \(1\) avec \(F'(1)=1\).

\[\forall x\in]0,+\infty[,\;F'(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{x-1}{\ln x}\;\mbox{si}\;x\neq1\\ 1\;\mbox{si}\;x=1. \end{array} \right..\]

Si \(x>1\), \(x-1>0\) et \(\ln x>0\) et si \(0<x<1\), \(x-1<0\) et \(\ln x<0\). Dans tous les cas (\(0<x<1\), \(x=1\), \(x>1\)) \(F'(x)>0\). \(F\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).

On a vu que \(\forall x>1,\;F(x)>x\ln2\) et donc \(\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)=+\infty\). Plus précisément, pour \(x>1\),

\[\frac{F(x)}{x}=\frac{1}{x}\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dt\geq\frac{x^2-x}{x\ln x}=\frac{x-1}{\ln x}.\]

Comme \(\frac{x-1}{\ln x}\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on en déduit que \(\frac{F(x)}{x}\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) et donc que la courbe représentative de \(F\) admet en \(+\infty\) une branche parabolique de direction \((Oy)\).

Pour \(x\in]0,1[\) et \(t\in[x^2,x]\), on a \(2\ln x=\ln(x^2)\leq\ln t\leq\ln x<0\) et donc \(\frac{1}{\ln x}\leq\frac{1}{\ln t}\leq\frac{1}{2\ln x}\), puis \((x-x^2)\frac{1}{\ln x}\leq\int_{x^2}^{x}\frac{1}{\ln t}\;dt\leq(x-x^2)\frac{1}{2\ln x}\) et finalement,

\[\forall x\in]0,1[,\;\frac{x-x^2}{-2\ln x}\leq F(x)\leq\frac{x-x^2}{-\ln x}.\]

On obtient déjà \(\lim_{x\rightarrow 0}F(x)=0\). On peut prolonger \(F\) par continuité en \(0\) en posant \(F(0)=0\). Ensuite, \(\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\frac{F(x)}{x}\) est compris entre \(\frac{1-x}{-2\ln x}\) et \(\frac{1-x}{-\ln x}\). Comme ces deux expressions tendent vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(0\), on en déduit que \(\frac{F(x)-F(0)}{x-0}\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(0\). \(F\) est donc dérivable en \(0\) et \(F'(0)=0\).

\[\]

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