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Montrer que les systèmes : $S_{1}=(1;\sqrt{2})$ et $S_{2}=(1;\sqrt{2};\sqrt{3})$ sont libres dans ${ \Rr}$ considéré comme ${ \Qq}$-espace vectoriel.

Soient, dans ${ \Rr}^{2}$, les vecteurs $u_{1}=(3+\sqrt{5},2+3\sqrt{5})$ et $u_{2}=(4,7\sqrt{5}-9)$. Montrer que le système $(u_{1},u_{2})$ est ${ \Qq}$-libre et ${ \Rr}$-lié.

Soient les vecteurs $v_{1}=(1-i,i)$ et $v_{2}=(2,-1+i)$ dans ${ \Cc}^{2}$.

Montrer que le système $(v_{1},v_{2})$ est ${ \Rr}$-libre et ${\Cc}$-lié.

Vérifier que le système $S=\{(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)\}$ est une base de l’e.v. ${ \Cc}^{2}$ sur ${ \Rr}$, et donner les composantes des vecteurs $v_{1}, v_{2}$ par rapport à cette base.