\(\text{Im}(g\circ f)=g(f(E))\subset g(F)\) fournit \(\text{rg}(gof)\leqslant\text{rg}g\).

Soit \(g'=g_{/f(E)}\). D’après le théorème du rang, on a

\(\text{rg}f=\text{dim}(f(E))=\text{dim}\text{Ker}g'+\text{dim}\text{Im}g'\geqslant\text{dim}\text{Im}g')=\text{rg}(g\circ f)\)

et donc \(\text{rg}(g\circ f)\leqslant\text{Min}\{\text{rg}f,\text{rg}g\}\).

A partir du théorème du rang, on voit que l’inégalité \(\text{rg}f+\text{rg}g-\text{dim}F\leqslant\text{rg}(g\circ f)\) est équivalente à l’inégalité \(\text{dim}(\text{Ker}(g\circ f))\leqslant\text{dim}\text{Ker}f+ \text{dim}\text{Ker}g\).

Soit \(f'=f_{/\text{Ker}(g\circ f)}\). D’après le théorème du rang, \(\text{dim}(\text{Ker}(g\circ f))=\text{dim}\text{Ker}f'+\text{dim}\text{Im}f'\). Mais \(\text{Ker}f'\subset\text{Ker}f\) puis \(\text{Im}f'=\{f(x)/\;x\in E\;\text{et}\;g(f(x))= 0\}\subset\{y\in F/\;g(y) = 0\}=\text{Ker}g\) et finalement \(\text{dim}\text{Ker}(g\circ f)\leqslant\text{dim}\text{Ker}f+\text{dim}\text{Ker}g\).

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