$\text{Im}(g\circ f)=g(f(E))\subset g(F)$ fournit $\text{rg}(gof)\leqslant\text{rg}g$ .

Soit $g'=g_{/f(E)}$ . D’après le théorème du rang, on a

$\text{rg}f=\text{dim}(f(E))=\text{dim}\text{Ker}g'+\text{dim}\text{Im}g'\geqslant\text{dim}\text{Im}g')=\text{rg}(g\circ f)$

et donc $\text{rg}(g\circ f)\leqslant\text{Min}\{\text{rg}f,\text{rg}g\}$ .

A partir du théorème du rang, on voit que l’inégalité $\text{rg}f+\text{rg}g-\text{dim}F\leqslant\text{rg}(g\circ f)$ est équivalente à l’inégalité $\text{dim}(\text{Ker}(g\circ f))\leqslant\text{dim}\text{Ker}f+ \text{dim}\text{Ker}g$ .

Soit $f'=f_{/\text{Ker}(g\circ f)}$ . D’après le théorème du rang, $\text{dim}(\text{Ker}(g\circ f))=\text{dim}\text{Ker}f'+\text{dim}\text{Im}f'$ . Mais $\text{Ker}f'\subset\text{Ker}f$ puis $\text{Im}f'=\{f(x)/\;x\in E\;\text{et}\;g(f(x))= 0\}\subset\{y\in F/\;g(y) = 0\}=\text{Ker}g$ et finalement $\text{dim}\text{Ker}(g\circ f)\leqslant\text{dim}\text{Ker}f+\text{dim}\text{Ker}g$ .

$\forall(f,g)\in\mathcal{L}(E,F)\times\mathcal{L}(F,G),\;\text{rg}f+\text{rg}g-\text{dim}F\leqslant\text{rg}(g\circ f)\leqslant\text{Min}\{\text{rg}f,\text{rg}g\}$ .

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