L1 Algèbre Espace vectoriel Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 5 questions

exo7 919

Soient v1=(0,1,−2,1),v2=(1,0,2,−1),v3=(3,2,2,−1),v4=(0,0,1,0)v_1=(0,1,-2,1), v_2=(1,0,2,-1), v_3=(3,2,2,-1), v_4 = (0,0,1,0) et v5=(0,0,0,1)v_5=(0,0,0,1) des vecteurs de R4\Rr^4. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre réponse.

1

Vect{v1,v2,v3}=Vect{(1,1,0,0),(−1,1,−4,2)}\text{Vect}\{ v_1, v_2, v_3 \} = \text{Vect}\{(1,1,0,0),(-1,1,-4,2)\}.

2

(1,1,0,0)∈Vect{v1,v2}∩Vect{v2,v3,v4}(1,1,0,0) \in \text{Vect}\{ v_1, v_2 \} \cap \text{Vect}\{ v_2, v_3, v_4 \}.

3

dim⁡(Vect{v1,v2}∩Vect{v2,v3,v4})=1\dim(\text{Vect}\{ v_1, v_2 \} \cap \text{Vect}\{ v_2, v_3, v_4 \})=1 (c’est-à-dire c’est une droite vectorielle).

4

Vect{v1,v2}+Vect{v2,v3,v4}=R4\text{Vect}\{ v_1, v_2 \} + \text{Vect}\{ v_2, v_3, v_4 \}= \Rr^4.

5

Vect{v4,v5}\text{Vect}\{ v_4, v_5 \} est un sous-espace vectoriel supplémentaire de Vect{v1,v2,v3}\text{Vect}\{ v_1, v_2, v_3 \} dans R4\Rr^4.

Exercice gex9

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