Montrons d’abord que \(E \subset F\). On va d’abord montrer que \(v_1 \in F\) et \(v_2 \in F\).

Tout d’abord \(v_1\in F \iff v_1 \in \text{Vect}\{w_1,w_2\} \iff \exists \lambda, \mu \quad v_1 = \lambda w_1+\mu w_2\).

Il s’agit donc de trouver ces \(\lambda,\mu\). Cela se fait en résolvant un système (ici on peut même le faire de tête) on trouve la relation \(7 (2, 3, -1) = 3(3, 7, 0)-(5, 0, -7)\) ce qui donne la relation \(v_1 = \frac37 w_1 -\frac 17 w_2\) et donc \(v_1\in F\).

De même \(7v_2=-w_1+2w_2\) donc \(v_2\in F\).

Maintenant \(v_1\) et \(v_2\) sont dans l’espace vectoriel \(F\), donc toute combinaison linéaire de \(v_1\) et \(v_2\) aussi, c’est-à-dire : pour tout \(\lambda,\mu\), on a \(\lambda v_1+\mu v_2 \in F\). Ce qui implique \(E \subset F\).

Il reste à montrer \(F\subset E\). Il s’agit donc d’écrire \(w_1\) (puis \(w_2\)) en fonction de \(v_1\) et \(v_2\). On trouve \(w_1= 2v_1-v_2\) et \(w_2=v_1+3v_2\). Encore une fois cela entraîne \(w_1 \in E\) et \(w_2 \in E\) donc \(\text{Vect}\{w_1,w_2\} \subset E\) d’où \(F\subset E\).

Par double inclusion on a montré \(E=F\).

exo7 908