Montrons d’abord que $E \subset F$ . On va d’abord montrer que $v_1 \in F$ et $v_2 \in F$ .

Tout d’abord $v_1\in F \iff v_1 \in \text{Vect}\{w_1,w_2\} \iff \exists \lambda, \mu \quad v_1 = \lambda w_1+\mu w_2$ .

Il s’agit donc de trouver ces $\lambda,\mu$ . Cela se fait en résolvant un système (ici on peut même le faire de tête) on trouve la relation $7 (2, 3, -1) = 3(3, 7, 0)-(5, 0, -7)$ ce qui donne la relation $v_1 = \frac37 w_1 -\frac 17 w_2$ et donc $v_1\in F$ .

De même $7v_2=-w_1+2w_2$ donc $v_2\in F$ .

Maintenant $v_1$ et $v_2$ sont dans l’espace vectoriel $F$ , donc toute combinaison linéaire de $v_1$ et $v_2$ aussi, c’est-à-dire : pour tout $\lambda,\mu$ , on a $\lambda v_1+\mu v_2 \in F$ . Ce qui implique $E \subset F$ .

Il reste à montrer $F\subset E$ . Il s’agit donc d’écrire $w_1$ (puis $w_2$ ) en fonction de $v_1$ et $v_2$ . On trouve $w_1= 2v_1-v_2$ et $w_2=v_1+3v_2$ . Encore une fois cela entraîne $w_1 \in E$ et $w_2 \in E$ donc $\text{Vect}\{w_1,w_2\} \subset E$ d’où $F\subset E$ .

Par double inclusion on a montré $E=F$ .

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