1
Soit \(E=\Rr_n[X]\) l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\). Montrer que toute famille de polynômes \(\{P_0,P_1,\ldots,P_n\}\) avec \(\deg P_i = i\) (pour \(i=0,1,\ldots,n\)) forme une base de \(E\).
2
Écrire le polynôme \(F=3X-X^2+8X^3\) sous la forme \(F=a+b(1-X)+c(X-X^2)+d(X^2-X^3)\) (\(a,b,c,d \in \Rr\)) puis sous la forme \(F=\alpha+\beta(1+X)+\gamma(1+X+X^2)+\delta(1+X+X^2+X^3)\) (\(\alpha,\beta,\gamma,\delta \in \Rr\)).