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Soit $E=\Rr_n[X]$ l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$. Montrer que toute famille de polynômes $\{P_0,P_1,\ldots,P_n\}$ avec $\deg P_i = i$ (pour $i=0,1,\ldots,n$) forme une base de $E$.

Écrire le polynôme $F=3X-X^2+8X^3$ sous la forme $F=a+b(1-X)+c(X-X^2)+d(X^2-X^3)$ ($a,b,c,d \in \Rr$) puis sous la forme $F=\alpha+\beta(1+X)+\gamma(1+X+X^2)+\delta(1+X+X^2+X^3)$ ($\alpha,\beta,\gamma,\delta \in \Rr$).