Soit \(E\) un \(K\)-ev non nul et \(F_1,\dots,F_n\) des sev stricts de \(E\). On veut montrer que \(E \ne F_1 \cup \dots \cup F_n\) :
1
Traiter le cas \(n = 2\).
2
Cas général : on suppose \(F_n \not\subset F_1 \cup \dots \cup F_{n-1}\) et on choisit \(\vec x \in F_n \setminus (F_1 \cup \dots \cup F_{n-1})\) et \(\vec y \notin F_n\).
3
Montrer que : \(\forall\ \lambda \in K\), \(\lambda\vec x + \vec y \notin F_n\).
4
Montrer que : \(\forall\ i \le n-1\), il existe au plus un \(\lambda \in K\) tel que \(\lambda\vec x + \vec y \in F_i\).
5
Conclure.