Soit $f$ l’application de $F\times G$ dans $E$ qui à un élément $(x,y)$ de $F\times G$ associe $x+y$ .

$f$ est clairement linéaire et d’après le thèorème du rang

$\text{dim}(F\times G)=\text{dim}(\text{Ker}f)+\text{dim}(\text{Im}f)$ avec $\text{dim}(FxG)=\text{dim}F +\text{dim}G$ et $\text{dim}(\text{Im}f)=\text{dim}(F+G)$ .

Il reste à analyser $\text{Ker}f$ .

Soit $(x,y)\in E^2$ . $(x,y)$ est élément de $\text{Ker}f$ si et seulement si $x$ est dans $F$ , $y$ est dans $G$ et $x+y=0$ ou encore si et seulement si $x$ et $y$ sont dans $F\cap G$ et $y=-x$ . Donc $\text{Ker}f=\{(x,-x),\;x\in F\cap G\}$ .

Montrons enfin que $\text{Ker}f$ est isomorphe à $F\cap G$ . Soit $\varphi$ l’application de $F\cap G$ dans $\text{Ker}f$ qui à l’élément $x$ de $F\cap G$ associe $(x,-x)$ dans $\text{Ker}f$ . $\varphi$ est clairement une application linéaire, clairement injective et clairement surjective. Donc $\varphi$ est un isomorphisme de $F\cap G$ sur $\text{Ker}f$ et en particulier $\text{dim}(\text{Ker}f)=\text{dim}(F\cap G)$ . Finalement

$\text{dim}(F+G)=\text{dim}F+\text{dim}G-\text{dim}(F\cap G)$ .

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