Montrons par récurrence que \(\forall n\geqslant2\), \(\text{dim}(F_1+\ldots+F_n)\leqslant\text{dim}(F_1)+\ldots+\text{dim}(F_n)\).

Pour \(n=2\), \(\text{dim}(F_1+F_2)=\text{dim}(F_1)+\text{dim}(F_2)-\text{dim}(F_1\cap F_2)\leqslant\text{dim}(F_1)+\text{dim}(F_2)\).

Soit \(n\geqslant2\). Supposons que si \(F_1\),…, \(F_n\) sont \(n\) sous-espaces de \(E\), \(\text{dim}(F_1+\ldots+F_n)\leqslant\text{dim}(F_1)+\text{dim}(F_n)\).

Soient \(F_1\),…, \(F_{n+1}\) \(n+1\) sous-espaces de \(E\).

\[\begin{align*}\ensuremath \text{dim}(F_1+F_2+...+F_{n+1})&\leqslant\text{dim}(F_1+...+F_n) +\text{dim}(F_{n+1})\;(\text{d'après le cas}\;n=2)\\ &\leqslant \text{dim}(F_1)+ ... +\text{dim}(F_{n+1})\;(\text{par hypothèse de récurrence}). \end{align*}\]

Le résultat est démontré par récurrence.

On sait que si la somme \(F_1+\ldots+F_n\) est directe, on a \(\text{dim}(F_1+\ldots+F_n)=\text{dim}(F_1)+\ldots+\text{dim}(F_n)\).

Montrons par récurrence que \(\forall n\geqslant,\;2\;[\text{dim}(F_1+...+F_n)=\text{dim}F_1 + ... + \text{dim}F_n]\Rightarrow\text{la somme}\;F_1+\ldots+F_n\;\text{est directe}]\).

Pour n=2 , d’après le [ex:rou14], \(\text{dim}(F_1+F_2)=\text{dim}(F_1)+\text{dim}(F_2)\Rightarrow\text{dim}(F_1\cap F_2)=0\Rightarrow F_1\cap F_2=\{0\}\).

Soit \(n\geqslant2\). Soient \(F_1\),...,\(F_{n+1}\) \(n+1\) sous-espaces de \(E\) tels que \(\text{dim}(F_1+...+F_{n+1})=\text{dim}(F_1)+...+\text{dim}(F_{n+1})\).

On sait que

\[\begin{align*}\ensuremath \text{dim}(F_1)+...+\text{dim}(F_{n+1})&=\text{dim}(F_1+...+F_{n+1})\\ &=\text{dim}(F_1+...+F_n) +\text{dim}(F_{n+1})-\text{dim}((F_1+...+F_n)\cap F_{n+1})\\ &\leqslant\text{dim}(F_1)+...+\text{dim}(F_{n+1})-\text{dim}((F_1+...+F_n)\cap F_{n+1}), \end{align*}\]

et donc \(\text{dim}((F_1+...+F_n)\cap F_{n+1})\leqslant0\) puis \(\text{dim}((F_1+...+F_n)\cap F_{n+1})= 0\). Par suite \((F_1+...+F_n)\cap F_{n+1}=\{0\}\) et aussi \(\text{dim}(F_1)+...+\text{dim}(F_{n+1})=\text{dim}(F_1+...+F_n) +\text{dim}(F_{n+1})\) et donc \(\text{dim}(F_1+...+F_n)=\text{dim}(F_1)+ ... +\text{dim}(F_n)\).

Mais alors, par hypothèse de récurrence, la somme \(F_1+...+F_n\) est directe et si l’on rappelle que \((F_1+...+F_n)\cap F_{n+1}=\{0\}\), on a montré que la somme \(F_1+...+F_{n+1}\) est directe.

Le résultat est démontré par récurrence.

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