Montrons par récurrence que $\forall n\geqslant2$ , $\text{dim}(F_1+\ldots+F_n)\leqslant\text{dim}(F_1)+\ldots+\text{dim}(F_n)$ .

Pour $n=2$ , $\text{dim}(F_1+F_2)=\text{dim}(F_1)+\text{dim}(F_2)-\text{dim}(F_1\cap F_2)\leqslant\text{dim}(F_1)+\text{dim}(F_2)$ .

Soit $n\geqslant2$ . Supposons que si $F_1$ ,…, $F_n$ sont $n$ sous-espaces de $E$ , $\text{dim}(F_1+\ldots+F_n)\leqslant\text{dim}(F_1)+\text{dim}(F_n)$ .

Soient $F_1$ ,…, $F_{n+1}$ $n+1$ sous-espaces de $E$ .

$\begin{align*}\ensuremath \text{dim}(F_1+F_2+...+F_{n+1})&\leqslant\text{dim}(F_1+...+F_n) +\text{dim}(F_{n+1})\;(\text{d'après le cas}\;n=2)\\ &\leqslant \text{dim}(F_1)+ ... +\text{dim}(F_{n+1})\;(\text{par hypothèse de récurrence}). \end{align*}$

Le résultat est démontré par récurrence.

On sait que si la somme $F_1+\ldots+F_n$ est directe, on a $\text{dim}(F_1+\ldots+F_n)=\text{dim}(F_1)+\ldots+\text{dim}(F_n)$ .

Montrons par récurrence que $\forall n\geqslant,\;2\;[\text{dim}(F_1+...+F_n)=\text{dim}F_1 + ... + \text{dim}F_n]\Rightarrow\text{la somme}\;F_1+\ldots+F_n\;\text{est directe}]$ .

Pour n=2 , d’après le [ex:rou14], $\text{dim}(F_1+F_2)=\text{dim}(F_1)+\text{dim}(F_2)\Rightarrow\text{dim}(F_1\cap F_2)=0\Rightarrow F_1\cap F_2=\{0\}$ .

Soit $n\geqslant2$ . Soient $F_1$ ,..., $F_{n+1}$ $n+1$ sous-espaces de $E$ tels que $\text{dim}(F_1+...+F_{n+1})=\text{dim}(F_1)+...+\text{dim}(F_{n+1})$ .

On sait que

$\begin{align*}\ensuremath \text{dim}(F_1)+...+\text{dim}(F_{n+1})&=\text{dim}(F_1+...+F_{n+1})\\ &=\text{dim}(F_1+...+F_n) +\text{dim}(F_{n+1})-\text{dim}((F_1+...+F_n)\cap F_{n+1})\\ &\leqslant\text{dim}(F_1)+...+\text{dim}(F_{n+1})-\text{dim}((F_1+...+F_n)\cap F_{n+1}), \end{align*}$

et donc $\text{dim}((F_1+...+F_n)\cap F_{n+1})\leqslant0$ puis $\text{dim}((F_1+...+F_n)\cap F_{n+1})= 0$ . Par suite $(F_1+...+F_n)\cap F_{n+1}=\{0\}$ et aussi $\text{dim}(F_1)+...+\text{dim}(F_{n+1})=\text{dim}(F_1+...+F_n) +\text{dim}(F_{n+1})$ et donc $\text{dim}(F_1+...+F_n)=\text{dim}(F_1)+ ... +\text{dim}(F_n)$ .

Mais alors, par hypothèse de récurrence, la somme $F_1+...+F_n$ est directe et si l’on rappelle que $(F_1+...+F_n)\cap F_{n+1}=\{0\}$ , on a montré que la somme $F_1+...+F_{n+1}$ est directe.

Le résultat est démontré par récurrence.

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