L1 Algèbre Espace vectoriel Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT 2 questions

exo7 3657

Soit $E$ un $K$ -ev, $E_1,\dots,E_n$ des sev tels que $E_1 \oplus \dots \oplus E_n = E$ . Soient $u_1 \in \mathcal{L}({E_1}),\dots,u_n \in \mathcal{L}({E_n})$ .

Montrer qu’il existe un unique endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que pour tout $i$ : $u_{|F_i} = u_i$ .

Montrer que $\mathrm{Ker}(u) = \mathrm{Ker}(u_1) \oplus \dots \oplus \mathrm{Ker}(u_n)$ et $\Im (u) = \Im (u_1) \oplus \dots \oplus \Im (u_n)$ .