Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\). Par l’absurde supposons que \(F\) ne soit pas de dimension finie, alors il existe \(v_1,\ldots,v_{n+1}\), \(n+1\) vecteurs de \(F\) linéairement indépendants dans \(F\). Mais ils sont aussi linéairement indépendants dans \(E\). Donc la dimension de \(E\) est au moins \(n+1\). Contradiction.

Deux remarques :

En fait on a même montré que la dimension de \(F\) est plus petite que la dimension de \(E\).
On a utilisé le résultat suivant : si \(E\) admet une famille libre à \(k\) éléments alors la dimension de \(E\) est plus grande que \(k\) (ou est infini). Ce résultat est une conséquence immédiate du théorème de la base incomplète.

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