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Problème de l’interpolation : soit les cinq points $(x_1,y_1)=(-2,3)$ , $(x_2,y_2)=(0,-2)$ , $(x_3,y_3)=(1,5)$ , $(x_4,y_4)=(5,1)$ , $(x_5,y_5)=(6,7)$ de $\mathbb{R}^2$ , et $\mathcal{P}_4$ l’espace vectoriel des polynômes de degré $\leq 4$ . On veut trouver un polynôme $F$ dans $\mathcal{P}_4$ tel que pour $i=1,\ldots,5$ on ait $F(x_i)=y_i$ .

Sans effectuer les calculs, indiquer comment on pourrait calculer $a,b,c,d,e$ exprimant $F=a+bX+cX^2+dX^3+eX^4$ selon la base $\{1,X,X^2,X^3,X^4\}$ de $\mathcal{P}_4$ .

Montrer que $\{1,X+2,(X+2)X,(X+2)X(X-1), (X+2)X(X-1)(X-5)\}$ est une base de $\mathcal{P}_4$ . Calculer directement (indépendamment de la question précédente) les coordonnées de $F$ dans cette base.

Montrer que l’ensemble des polynômes $X(X-1)(X-5)(X-6),(X+2)(X-1)(X-5)(X-6), (X+2)X(X-5)(X-6), (X+2)X(X-1)(X-6),(X+2)X(X-1)(X-5)$ forment une base de $\mathcal{P}_4$ . Calculer directement (indépendamment des questions précédentes) les coordonnées de $F$ dans cette base.

Dans laquelle des diverses bases ci-dessus le calcul de $F$ vous paraît-il le plus simple ?

exo7 995

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