Problème de l’interpolation : soit les cinq points \((x_1,y_1)=(-2,3)\), \((x_2,y_2)=(0,-2)\), \((x_3,y_3)=(1,5)\), \((x_4,y_4)=(5,1)\), \((x_5,y_5)=(6,7)\) de \(\mathbb{R}^2\), et \(\mathcal{P}_4\) l’espace vectoriel des polynômes de degré \(\leq 4\). On veut trouver un polynôme \(F\) dans \(\mathcal{P}_4\) tel que pour \(i=1,\ldots,5\) on ait \(F(x_i)=y_i\).
Sans effectuer les calculs, indiquer comment on pourrait calculer \(a,b,c,d,e\) exprimant \(F=a+bX+cX^2+dX^3+eX^4\) selon la base \(\{1,X,X^2,X^3,X^4\}\) de \(\mathcal{P}_4\).
Montrer que \(\{1,X+2,(X+2)X,(X+2)X(X-1), (X+2)X(X-1)(X-5)\}\) est une base de \(\mathcal{P}_4\). Calculer directement (indépendamment de la question précédente) les coordonnées de \(F\) dans cette base.
Montrer que l’ensemble des polynômes \(X(X-1)(X-5)(X-6),(X+2)(X-1)(X-5)(X-6), (X+2)X(X-5)(X-6), (X+2)X(X-1)(X-6),(X+2)X(X-1)(X-5)\) forment une base de \(\mathcal{P}_4\). Calculer directement (indépendamment des questions précédentes) les coordonnées de \(F\) dans cette base.
Dans laquelle des diverses bases ci-dessus le calcul de \(F\) vous paraît-il le plus simple ?