\(e_4\) et \(e_5\) ne sont clairement pas colinéaires. Donc \((e_4,e_5)\) est une famille libre et \(\mbox{dim }G=\mbox{rg }(e_4,e_5)=2\). Ensuite, puisque \(e_1\) et \(e_2\) ne sont pas colinéaires, on a \(2\leq\mbox{dim }F\leq3\). Soit alors \((\lambda,\mu,\nu)\in\Rr^3\).

\[\lambda e_1+\mu e_2+\nu e_3=0\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \lambda+\mu+2\nu=0\quad(1)\\ 2\lambda+\mu+\nu=0\quad(2)\\ 3\lambda+\mu+\nu=0\quad(3)\\ 4\lambda+3\mu+\nu=0\quad(4) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \lambda=0\;((3)-(2))\\ \nu-\lambda=0\;((1)-(2))\\ \lambda+\mu+2\nu=0\;(1) \end{array} \right. \Rightarrow\lambda=\mu=\nu=0 .\] On a montré que : \(\forall(\lambda,\mu,\nu)\in\Rr^3,\;(\lambda e_1+\mu e_2+\nu e_3=0\Rightarrow\lambda=\mu=\nu=0)\). \((e_1,e_2,e_3)\) est donc libre et \(\mbox{dim }F=\mbox{rg }(e_1,e_2,e_3)=3\). Comme \(F\subset F+G\), \(\mbox{dim }(F+G)\geq3\) ou encore \(\mbox{dim }(F+G)=3\) ou \(4\). De plus :

\[\mbox{dim }(F+G)=3\Leftrightarrow F=F+G\Leftrightarrow G\subset F\Leftrightarrow\{e_4,e_5\}\subset F.\] On cherche alors \((\lambda,\mu,\nu)\in\Rr^3\) tel que \(e_4=\lambda e_1+\mu e_2+\nu e_3\) ce qui fournit le système :

\[\left\{ \begin{array}{l} \lambda+\mu+2\nu=-1\quad(1)\\ 2\lambda+\mu+\nu=0\quad(2)\\ 3\lambda+\mu+\nu=-1\quad(3)\\ 4\lambda+3\mu+\nu=2\quad(4) \end{array} \right..\] \((3)-(2)\) fournit \(\lambda=-1\) puis \((1)-(2)\) fournit \(\nu=-2\) puis \((2)\) fournit \(\mu=4\). Maintenant, \((4)\) n’est pas vérifiée car \(4\times(-1)+3\times4-2=6\neq 2\). Le système proposé n’admet pas de solution et donc \(e_4\notin\mbox{Vect}(e_1,e_2,e_3)=F\). Par suite, \(\mbox{dim }(F+G)=4\). Enfin,

\[\mbox{dim }(F\cap G)=\mbox{dim }F+\mbox{dim }G-\mbox{dim }(F+G)=3+2-4=1.\]

exo7 5183