Soit \(E\) un \({K}\) espace vectoriel de dimension finie \(n\geq 1.\) Soit \(f\in L(E)\) nilpotente. On note \(q\in \Nn^{*}\) l’indice de nilpotence de \(f,\) i.e.: \[q=\inf \{j\in \Nn^{*}|f^{j}=0\}.\]
1
Montrer que : \(\exists x_{0}\in E\) tel que \(\{x_{0},f(x_{0}),...,f^{q-1}(x_{o})\}\) soit libre. En déduire \(q\leq n.\)
2
Soit \(r=\dim Ker(f).\) Montrer que \(r>0\) et que \[\frac{n}{r}\leq q\leq n+1-r.\]