L1 Algèbre Espace vectoriel Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPI 2 questions

exo7 1039

Soit EE un K{K} espace vectoriel de dimension finie n≥1.n\geq 1. Soit f∈L(E)f\in L(E) nilpotente. On note q∈N∗q\in \Nn^{*} l’indice de nilpotence de f,f, i.e.: q=inf⁡{j∈N∗∣fj=0}.q=\inf \{j\in \Nn^{*}|f^{j}=0\}.

1

Montrer que : ∃x0∈E\exists x_{0}\in E tel que {x0,f(x0),...,fq−1(xo)}\{x_{0},f(x_{0}),...,f^{q-1}(x_{o})\} soit libre. En déduire q≤n.q\leq n.

2

Soit r=dim⁡Ker(f).r=\dim Ker(f). Montrer que r>0r>0 et que nr≤q≤n+1−r.\frac{n}{r}\leq q\leq n+1-r.

Exercice Wlby

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