$F\cap G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ donc est de dimension finie. Soit $(e_1,\ldots, e_k)$ une base de $F\cap G$ avec $k=\dim F\cap G$ .

$(e_1,\ldots, e_k)$ est une famille libre dans $F$ donc on peut la compléter en une base de $F$ par le théorème de la base incomplète. Soient donc $(f_1,\ldots,f_\ell)$ des vecteurs de $F$ tels que $(e_1,\ldots, e_k,f_1,\ldots,f_\ell)$ soit une base de $F$ . Nous savons que $k+\ell = \dim F$ . Remarquons que les vecteurs $f_i$ sont dans $F\setminus G$ (car ils sont dans $F$ mais pas dans $F\cap G$ ).

Nous repartons de la famille $(e_1,\ldots, e_k)$ mais cette fois nous la complétons en une base de $G$ : soit donc $(g_1,\ldots,g_m)$ des vecteurs de $G$ tels que $(e_1,\ldots, e_k,g_1,\ldots,g_m)$ soit une base de $G$ . Nous savons que $k+m = \dim G$ . Remarquons que cette fois les vecteurs $g_i$ sont dans $G\setminus F$ . Montrons que $\mathcal{B}=(e_1,\ldots, e_k,f_1,\ldots,f_\ell,g_1,\ldots,g_m)$ est une base de $F+G$ .

C’est une famille génératrice car $F=\mathrm{Vect}(e_1,\ldots, e_k,f_1,\ldots,f_\ell) \subset \mathrm{Vect}(\mathcal{B})$ et $G=\mathrm{Vect}(e_1,\ldots, e_k,g_1,\ldots,g_m) \subset \mathrm{Vect}(\mathcal{B})$ . Donc $F+G \subset \mathrm{Vect}(\mathcal{B})$ .

C’est une famille libre : en effet soit une combinaison linéaire nulle $a_1e_1+\cdots+ a_ke_k\quad + \quad b_1f_1+\cdots +b_\ell f_\ell \quad + \quad c_1 g_1+\cdots +c_m g_m=0.$ Notons $e=a_1e_1+\ldots +a_ke_k$ , $f=b_1f_1+\cdots +b_\ell f_\ell$ , $g=c_1 g_1+\cdots +c_m g_m$ . Donc la combinaison linéaire devient : $e+f+g=0.$ Donc $g=-e-f$ , or $e$ et $f$ sont dans $F$ donc $g$ appartient à $F$ . Or les vecteurs $g_i$ ne sont pas dans $F$ . Donc $g=c_1 g_1+\cdots+ c_m g_m$ est nécessairement le vecteur nul. Nous obtenons $c_1 g_1+\cdots+ c_m g_m=0$ c’est donc une combinaison linéaire nulle pour la famille libre $(g_1,\ldots,g_m)$ . Donc tous les coefficients $c_1,\ldots,c_m$ sont nuls.

Le reste de l’équation devient $a_1e_1+\cdots +a_ke_k+b_1f_1+\cdots +b_\ell f_\ell=0$ , or $(e_1,\ldots, e_k,f_1,\ldots,f_\ell)$ est une base de $F$ donc tous les coefficients $a_1,\ldots,a_k,b_1,\ldots,b_\ell$ sont nuls.

Bilan : tous les coefficients sont nuls donc la famille est libre. Comme elle était génératrice, c’est une base. Puisque $\mathcal{B}$ est une base de $F+G$ alors la dimension de $F+G$ est le nombre de vecteurs de la base $\mathcal{B}$ : $\dim (F+G) = k + \ell + m.$ Or $k=\dim F\cap G$ , $\ell = \dim F - k$ , $m=\dim G - k$ , donc $\dim (F+G) = \dim F + \dim G - \dim (F\cap G).$

exo7 1015