\(F\cap G\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) donc est de dimension finie. Soit \((e_1,\ldots, e_k)\) une base de \(F\cap G\) avec \(k=\dim F\cap G\).

\((e_1,\ldots, e_k)\) est une famille libre dans \(F\) donc on peut la compléter en une base de \(F\) par le théorème de la base incomplète. Soient donc \((f_1,\ldots,f_\ell)\) des vecteurs de \(F\) tels que \((e_1,\ldots, e_k,f_1,\ldots,f_\ell)\) soit une base de \(F\). Nous savons que \(k+\ell = \dim F\). Remarquons que les vecteurs \(f_i\) sont dans \(F\setminus G\) (car ils sont dans \(F\) mais pas dans \(F\cap G\)).

Nous repartons de la famille \((e_1,\ldots, e_k)\) mais cette fois nous la complétons en une base de \(G\) : soit donc \((g_1,\ldots,g_m)\) des vecteurs de \(G\) tels que \((e_1,\ldots, e_k,g_1,\ldots,g_m)\) soit une base de \(G\). Nous savons que \(k+m = \dim G\). Remarquons que cette fois les vecteurs \(g_i\) sont dans \(G\setminus F\). Montrons que \(\mathcal{B}=(e_1,\ldots, e_k,f_1,\ldots,f_\ell,g_1,\ldots,g_m)\) est une base de \(F+G\).

C’est une famille génératrice car \(F=\mathrm{Vect}(e_1,\ldots, e_k,f_1,\ldots,f_\ell) \subset \mathrm{Vect}(\mathcal{B})\) et \(G=\mathrm{Vect}(e_1,\ldots, e_k,g_1,\ldots,g_m) \subset \mathrm{Vect}(\mathcal{B})\). Donc \(F+G \subset \mathrm{Vect}(\mathcal{B})\).

C’est une famille libre : en effet soit une combinaison linéaire nulle \[a_1e_1+\cdots+ a_ke_k\quad + \quad b_1f_1+\cdots +b_\ell f_\ell \quad + \quad c_1 g_1+\cdots +c_m g_m=0.\] Notons \(e=a_1e_1+\ldots +a_ke_k\), \(f=b_1f_1+\cdots +b_\ell f_\ell\), \(g=c_1 g_1+\cdots +c_m g_m\). Donc la combinaison linéaire devient : \[e+f+g=0.\] Donc \(g=-e-f\), or \(e\) et \(f\) sont dans \(F\) donc \(g\) appartient à \(F\). Or les vecteurs \(g_i\) ne sont pas dans \(F\). Donc \(g=c_1 g_1+\cdots+ c_m g_m\) est nécessairement le vecteur nul. Nous obtenons \(c_1 g_1+\cdots+ c_m g_m=0\) c’est donc une combinaison linéaire nulle pour la famille libre \((g_1,\ldots,g_m)\). Donc tous les coefficients \(c_1,\ldots,c_m\) sont nuls.

Le reste de l’équation devient \(a_1e_1+\cdots +a_ke_k+b_1f_1+\cdots +b_\ell f_\ell=0\), or \((e_1,\ldots, e_k,f_1,\ldots,f_\ell)\) est une base de \(F\) donc tous les coefficients \(a_1,\ldots,a_k,b_1,\ldots,b_\ell\) sont nuls.

Bilan : tous les coefficients sont nuls donc la famille est libre. Comme elle était génératrice, c’est une base. Puisque \(\mathcal{B}\) est une base de \(F+G\) alors la dimension de \(F+G\) est le nombre de vecteurs de la base \(\mathcal{B}\): \[\dim (F+G) = k + \ell + m.\] Or \(k=\dim F\cap G\), \(\ell = \dim F - k\), \(m=\dim G - k\), donc \[\dim (F+G) = \dim F + \dim G - \dim (F\cap G).\]

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