Soit $n\geqslant3$ . Montrons par récurrence que $\forall k\in\llbracket2,n-1\rrbracket$ , si $H_1$ ,..., $H_k$ sont $k$ hyperplans de $E$ , alors $\text{dim}(H_1\cap...\cap H_k)\geqslant n-k$ .

Pour $k=2$ . Soient $H_1$ et $H_2$ deux hyperplans de $E$ .

$\text{dim}(H_1\cap H_2)=\text{dim}(H_1)+\text{dim}(H_2)-\text{dim}(H_1+H_2)\geqslant(n-1)+(n-1)-n=n-2$ .

Soit $k\in\llbracket2,n-3\rrbracket$ . Supposons que la dimension d’une intersection de $k$ hyperplans de $E$ soit supérieure ou égale à $n-k$ .

Soient $H_1$ ,..., $H_k$ , $H_{k+1}$ $k+1$ hyperplans de $E$ .

$\text{dim}(H_1\cap...\cap H_k\cap H_{k+1})=\text{dim}(H_1\cap...\cap H_k)+\text{dim}(H_{k+1})-\text{dim}((H_1\cap...\cap H_k)+H_{k+1})\geqslant(n-k)+(n-1)-n=n-(k+1)$ ,

ce qui démontre le résultat par récurrence.

Pour $k=n-1$ , on obtient en particulier $\text{dim}(H_1\cap...\cap H_{n-1})\geqslant n-(n-1)=1>0$ et donc $H_1\cap...\cap H_{n-1}\neq\{0\}$ .

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