Soit \(n\geqslant3\). Montrons par récurrence que \(\forall k\in\llbracket2,n-1\rrbracket\), si \(H_1\),..., \(H_k\) sont \(k\) hyperplans de \(E\), alors \(\text{dim}(H_1\cap...\cap H_k)\geqslant n-k\).

Pour \(k=2\). Soient \(H_1\) et \(H_2\) deux hyperplans de \(E\).

\(\text{dim}(H_1\cap H_2)=\text{dim}(H_1)+\text{dim}(H_2)-\text{dim}(H_1+H_2)\geqslant(n-1)+(n-1)-n=n-2\).

Soit \(k\in\llbracket2,n-3\rrbracket\). Supposons que la dimension d’une intersection de \(k\) hyperplans de \(E\) soit supérieure ou égale à \(n-k\).

Soient \(H_1\),..., \(H_k\), \(H_{k+1}\) \(k+1\) hyperplans de \(E\).

\(\text{dim}(H_1\cap...\cap H_k\cap H_{k+1})=\text{dim}(H_1\cap...\cap H_k)+\text{dim}(H_{k+1})-\text{dim}((H_1\cap...\cap H_k)+H_{k+1})\geqslant(n-k)+(n-1)-n=n-(k+1)\),

ce qui démontre le résultat par récurrence.

Pour \(k=n-1\), on obtient en particulier \(\text{dim}(H_1\cap...\cap H_{n-1})\geqslant n-(n-1)=1>0\) et donc \(H_1\cap...\cap H_{n-1}\neq\{0\}\).

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