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Soient \(a_0\),..., \(a_n\) \(n+1\) nombres complexes deux à deux distincts et \(b_0\),..., \(b_n\) \(n+1\) nombres complexes.
Montrer qu’il existe une unique famille de \(n+1\) polynômes à coefficients complexes de degré \(n\) exactement vérifiant \(\forall(i,j)\in\llbracket0,n\rrbracket\), \(L_i(a_j)=1\) si \(i=j\) et \(0\) sinon.
Montrer que la famille \((L_i)_{0\leqslant i\leqslant n}\) est une base de \(\Cc_n[X]\).
Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P\) de degré inférieur ou égal à \(n\) vérifiant \(\forall i\in\llbracket0,n\rrbracket\), \(P(a_i) =b_i\). Expliciter \(P\) puis déterminer tous les polynômes vérifiant les égalités précédentes.