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Que peut-on dire d’une isométrie plane qui a trois points fixes non alignés ?

Soit $\phi$ une isométrie plane qui a deux points fixes distincts $A$ et $B$. Soit $C$ un point hors de la droite $(AB)$ et $C'$ son image par $\phi$. Si $C'$ est différent de $C$, déterminer la médiatrice du segment $[CC']$ et montrer que $s_{(AB)}\circ \phi$ est l’identité. En déduire la nature de $\phi$.

Soit $\phi$ une isométrie différente de l’identité qui a un point fixe $A$. Soit $B$ un autre point du plan et $B'$ son image. Si $B'$ est différent de $B$, soit $d$ la médiatrice du segment $[BB']$ Montrer que $s_d\circ \phi$ a deux points fixes. Montrer que $\phi$ est composée de réflexions.

Montrer qu’une isométrie plane qui n’a pas de point fixe peut s’écrire composée de moins de trois réflexions.