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Montrer la convergence de la série $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{z-n}$ (regarder les sommes partielles pour les indices pairs).

On pose $f(w) = \frac\pi{\sin \pi w}$. Soit $z\notin\Zz$ fixé, soit $N>|z|-\frac12$ et ${\cal R}_N$ le carré $\{|x|\leq N+\frac12$, $|y|\leq N+\frac12\}$, et $C_N = \partial {\cal R}_N$ son bord parcouru dans le sens direct. Exprimer $\frac1{2\pi i} \int_{C_N} \frac{f(w)}{w-z}dw$ à l’aide du Théorème des résidus.

Montrer $\int_{C_N} \frac{f(w)}w dw = 0$ (on notera que $f$ est impaire) et en déduire : $$\frac1{2\pi i} \int_{C_N} \frac{f(w)}{w-z}dw = \frac1{2\pi i} \int_{C_N} \frac\pi{\sin \pi w}\frac{z}{w(w-z)}dw$$

On rappelle l’identité $\sin(w) = \sin(x)\ch(y) + i \cos(x)\sh(y)$ pour $w=x+iy$. Montrer $|\sin w|^2 = \sin^2 x + \sh^2 y$ ($x,y\in\Rr\dots$). En déduire $|\sin(\pi w)| = \ch(\pi y)\geq 1$ sur les bords verticaux du carré et $|\sin(\pi w)| \geq \sh(\pi(N+\frac12))\geq \sh(\pi\frac12) = 2.301\dots\geq1$ sur les bords horizontaux. Conclure la preuve de $$\frac\pi{\sin \pi z} = \frac1z + \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{2z}{z^2-n^2}$$ avec convergence uniforme pour $|z|$ borné.

Reprendre la même technique et prouver: $$\forall z\in\Cc\setminus\Zz\quad\frac{\pi \cos(\pi z)}{\sin(\pi z)} = \lim_{N\to\infty} \sum_{-N\leq n\leq N} \frac1{z-n} = \frac1z + \sum_{n=1}^\infty \frac{2z}{z^2-n^2}\;,$$ avec convergence uniforme pour $|z|$ borné.

On veut maintenant prouver: $\sin(\pi z) = \lim_{N\to\infty} \pi z\prod_{n=1}^N (1 - \frac{z^2}{n^2})$

On fixe une fois pour toutes $R>0$, et on va montrer la formule pour $|z|<R$. Soit $N$ avec $N>R$ et notons $f_N(z) = \frac{\pi z}{\sin(\pi z)}\prod_{n=1}^N (1 - \frac{z^2}{n^2})$, prolongé par continuité en les $n$, $|n|\leq N$. Montrer que $f_N$ est holomorphe et ne s’annule pas sur $D(0,R)$.

Soit $\gamma:[0,1]\to\Cc^*$ le chemin $\gamma(t) = f_N(tz)$. On a donc $\gamma(0) = 1$, $\gamma(1) = f_N(z)$, et $\gamma(t)\neq0$ pour tout $t$. Par un théorème démontré en cours (lequel?) on a $\gamma(1) = \gamma(0)\exp\left(\int_\gamma \frac{dw}w\right)$. En déduire $f_N(z) = \exp\left(\int_0^1 \frac{f_N'(tz)}{f_N(tz)} zdt\right)$.

Soit $\epsilon>0$. En utilisant la convergence uniforme pour $|z|$ borné du développement en fractions de $\pi\cotg(\pi z)$, montrer que pour $N$ suffisamment grand, on a $|f_N'(w)|\leq \epsilon |f_N(w)|$ pour tout $w\in D(0,R)$, puis en déduire $$N\gg0\quad |z|<R \implies\quad |f_N(z)| \leq e^{\epsilon|z|} \leq e^{\epsilon R}$$

En déduire $\lim_{N\to\infty} f_N(z) = 1$, uniformément sur $D(0,R)$. Conclure la preuve du produit infini de Euler pour $\sin(z)$.