On pose \(f(x) = \begin{cases}\exp\left(-\frac 1x\right)& \text{ si } x > 0 \cr 0 & \text{ si } x = 0.\cr\end{cases}\)
1
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\R^{+*}\), et que \(f^{(n)}(x)\) est de la forme \(\frac {P_n(x)}{x^{2n}}\exp\left(-\frac 1x\right)\) où \(P_n\) est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à \(n-1\) (\(n \ge 1\)).
2
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) en \(0^+\).
3
Montrer que le polynôme \(P_n\) possède \(n-1\) racines dans \(\R^{+*}\).