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Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\R^{+*}$, et que $f^{(n)}(x)$ est de la forme $\frac {P_n(x)}{x^{2n}}\exp\left(-\frac 1x\right)$ où $P_n$ est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à $n-1$ ($n \ge 1$).

Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ en $0^+$.

Montrer que le polynôme $P_n$ possède $n-1$ racines dans $\R^{+*}$.