Montrer que les sous groupes du groupe \((\Rr,+)\) sont soit de la forme \(a\Zz\), \(a\) réel donné, soit denses dans \(\Rr\).
Indication : pour \(G\) sous-groupe donné de \((\Rr,+)\), non réduit à \(\{0\}\), considérer \(a=\mbox{Inf }(G\cap]0;+\infty[)\) puis envisager les deux cas \(a=0\) et \(a>0\).
(Definition : \(G\) est dense dans \(\Rr\) si et seulement si : \((\forall x\in\Rr,\;\forall\varepsilon>0,\;\exists y\in G/\;|y-x|<\varepsilon)\).
Application 1. Montrer que \(\{a+b\sqrt{2},\;(a,b)\in\Zz^2\}\) est dense dans \(\Rr\).
Application 2 (groupe des périodes d’une fonction).
Soit \(f\) une fonction définie sur \(\Rr\) à valeurs dans \(\Rr\). Montrer que l’ensemble des périodes de \(f\) est un sous groupe de \((\Rr,+)\) (ce sous-groupe est réduit à \(\{0\}\) si \(f\) n’est pas périodique).
Montrer qu’une fonction continue sur \(\Rr\) qui admet \(1\) et \(\sqrt{2}\) pour périodes, est constante sur \(\Rr\).