exo7 5218

Montrer que les sous groupes du groupe $(\Rr,+)$ sont soit de la forme $a\Zz$, $a$ réel donné, soit denses dans $\Rr$.

Indication : pour $G$ sous-groupe donné de $(\Rr,+)$, non réduit à $\{0\}$, considérer $a=\mbox{Inf }(G\cap]0;+\infty[)$ puis envisager les deux cas $a=0$ et $a>0$.

(Definition : $G$ est dense dans $\Rr$ si et seulement si : $(\forall x\in\Rr,\;\forall\varepsilon>0,\;\exists y\in G/\;|y-x|<\varepsilon)$.

Application 1. Montrer que $\{a+b\sqrt{2},\;(a,b)\in\Zz^2\}$ est dense dans $\Rr$.

Application 2 (groupe des périodes d’une fonction).

Soit $f$ une fonction définie sur $\Rr$ à valeurs dans $\Rr$. Montrer que l’ensemble des périodes de $f$ est un sous groupe de $(\Rr,+)$ (ce sous-groupe est réduit à $\{0\}$ si $f$ n’est pas périodique).

Montrer qu’une fonction continue sur $\Rr$ qui admet $1$ et $\sqrt{2}$ pour périodes, est constante sur $\Rr$.