En appliquant l’inégalité arithmético-géométrique, on voit que les \(a\) et \(c\) se simplifient mais pas \(b\) et \(b+c\). L’idée est alors de modifier la forme de l’inégalité pour obtenir la simplification. Or, l’inégalité est équivalente à \[\frac{c}{a} + \frac{a}{b+c} +\frac{b}{c}+1 \geq 3,\] c’est-à-dire à \[\frac{c}{a} + \frac{a}{b+c} +\frac{b+c}{c} \geq 3.\] Sous cette forme, l’inégalité arithmético-géométrique donne le résultat: \[\frac{c}{a} + \frac{a}{b+c} +\frac{b+c}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{c}{a} \frac{a}{b+c} \frac{b+c}{c}} =3\sqrt[3]{1}=3.\]

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