L1 Analyse Calcul d'intégrales Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPI 2 questions

exo7 4251

Soit f:[0,a[→Rf : {[0, a[} \to \R de classe C∞\mathcal{C}^\infty telle que ff et toutes ses dérivées sont positives sur [0,a[[0, a[.

1

Montrer que la fonction gn:x⟼1xn(f(x)−f(0)−⋯−xn−1(n−1)!f(n−1)(0))g_n : x \longmapsto \frac 1{x^{n}}\left(f(x) - f(0) - \dots - \frac {x^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(0)\right) est croissante.

2

On fixe r∈]0,a[r \in {]0,a[}. Montrer que la série de Taylor de ff converge vers ff sur [0,r[[0,r[.

Exercice T8vL

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