Soit \(f : {[0, a[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que \(f\) et toutes ses dérivées sont positives sur \([0, a[\).
1
Montrer que la fonction \(g_n : x \longmapsto \frac 1{x^{n}}\left(f(x) - f(0) - \dots - \frac {x^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(0)\right)\) est croissante.
2
On fixe \(r \in {]0,a[}\). Montrer que la série de Taylor de \(f\) converge vers \(f\) sur \([0,r[\).