Soit \(\alpha>0\) fixé. Soit \(0<x_0<1\) tel que pour tout \(x \in [0,x_0]\), \(f(x) \leqslant 1-\alpha\). Ce \(x_0\) existe bien car \(f\) est strictement croissante et \(f(0)=0\), \(f(1)=1\). Séparons l’intégrale en deux : \[\begin{align*} \int_{0}^{1}f^{n}(t) dt &= \int_{0}^{x_0}f^{n}(t) dt+\int_{x_0}^{1}f^{n}(t) dt \\ &\leqslant \int_{0}^{x_0} (1-\alpha)^n dt + \int_{x_0}^{1} 1^n dt \\ &\leqslant x_0(1-\alpha)^n+(1-x_0) \\ &\leqslant (1-\alpha)^n+(1-x_0) \quad \text{ car } x_0 \leqslant 1 \\ \end{align*}\]

Soit maintenant donné un \(\epsilon >0\), on choisit \(\alpha>0\) tel que \(1-x_0 \leqslant \frac \epsilon 2\) (en remarquant que si \(\alpha \to 0\) alors \(x_0(\alpha) \to 1\)), puis il existe \(n\) assez grand tel que \((1-\alpha)^n \leqslant \frac \epsilon 2\). Donc pour tout \(\epsilon>0\) il existe \(n\) assez grand tel que \(\int_{0}^{1}f^{n}(t) dt \leqslant \epsilon\) . Donc \(\int_{0}^{1}f^{n}(t) dt \to 0\).

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