Soit $\alpha>0$ fixé. Soit $0<x_0<1$ tel que pour tout $x \in [0,x_0]$ , $f(x) \leqslant 1-\alpha$ . Ce $x_0$ existe bien car $f$ est strictement croissante et $f(0)=0$ , $f(1)=1$ . Séparons l’intégrale en deux : $\begin{align*} \int_{0}^{1}f^{n}(t) dt &= \int_{0}^{x_0}f^{n}(t) dt+\int_{x_0}^{1}f^{n}(t) dt \\ &\leqslant \int_{0}^{x_0} (1-\alpha)^n dt + \int_{x_0}^{1} 1^n dt \\ &\leqslant x_0(1-\alpha)^n+(1-x_0) \\ &\leqslant (1-\alpha)^n+(1-x_0) \quad \text{ car } x_0 \leqslant 1 \\ \end{align*}$

Soit maintenant donné un $\epsilon >0$ , on choisit $\alpha>0$ tel que $1-x_0 \leqslant \frac \epsilon 2$ (en remarquant que si $\alpha \to 0$ alors $x_0(\alpha) \to 1$ ), puis il existe $n$ assez grand tel que $(1-\alpha)^n \leqslant \frac \epsilon 2$ . Donc pour tout $\epsilon>0$ il existe $n$ assez grand tel que $\int_{0}^{1}f^{n}(t) dt \leqslant \epsilon$ . Donc $\int_{0}^{1}f^{n}(t) dt \to 0$ .

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