La courbe d’équation $y=x^2/2$ est une parabole, la courbe d’équation $y=\frac 1{1+x^2}$ est une courbe en cloche. Dessinez les deux graphes. Ces deux courbes délimitent une région dont nous allons calculer l’aire. Tout d’abord ces deux courbes s’intersectent aux points d’abscisses $x=+1$ et $x=-1$ : cela se devine sur le graphique puis se vérifie en résolvant l’équation $\frac{x^2}2=\frac 1{x^2+1}$ .

Nous allons calculer deux aires :

L’aire $\mathcal{A}_1$ de la région sous la parabole, au-dessus de l’axe des abscisses et entre les droites d’équation $(x=-1)$ et $(x=+1)$ . Alors $\mathcal{A}_1 = \int_{-1}^{+1} \frac{x^2}2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{6} \right]_{-1}^{+1} = \frac 13.$
L’aire $\mathcal{A}_2$ de la région sous la cloche, au-dessus de l’axe des abscisses et entre les droites d’équation $(x=-1)$ et $(x=+1)$ . Alors $\mathcal{A}_2 = \int_{-1}^{+1} \frac 1{x^2+1} \, dx = \left[ \arctan x \right]_{-1}^{+1} = \frac{\pi}{2}.$
L’aire $\mathcal{A}$ sous la cloche et au-dessus de la parabole vaut maintenant $\mathcal{A}= \mathcal{A}_2 - \mathcal{A}_1 = \frac{\pi}{2} - \frac 13.$

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