La courbe d’équation \(y=x^2/2\) est une parabole, la courbe d’équation \(y=\frac 1{1+x^2}\) est une courbe en cloche. Dessinez les deux graphes. Ces deux courbes délimitent une région dont nous allons calculer l’aire. Tout d’abord ces deux courbes s’intersectent aux points d’abscisses \(x=+1\) et \(x=-1\) : cela se devine sur le graphique puis se vérifie en résolvant l’équation \(\frac{x^2}2=\frac 1{x^2+1}\).

Nous allons calculer deux aires :

L’aire \(\mathcal{A}_1\) de la région sous la parabole, au-dessus de l’axe des abscisses et entre les droites d’équation \((x=-1)\) et \((x=+1)\). Alors \[\mathcal{A}_1 = \int_{-1}^{+1} \frac{x^2}2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{6} \right]_{-1}^{+1} = \frac 13.\]
L’aire \(\mathcal{A}_2\) de la région sous la cloche, au-dessus de l’axe des abscisses et entre les droites d’équation \((x=-1)\) et \((x=+1)\). Alors \[\mathcal{A}_2 = \int_{-1}^{+1} \frac 1{x^2+1} \, dx = \left[ \arctan x \right]_{-1}^{+1} = \frac{\pi}{2}.\]
L’aire \(\mathcal{A}\) sous la cloche et au-dessus de la parabole vaut maintenant \[\mathcal{A}= \mathcal{A}_2 - \mathcal{A}_1 = \frac{\pi}{2} - \frac 13.\]

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