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Soit $G$ un groupe et $A$ un sous-groupe de $G$ d’indice fini. Montrer qu’il existe un sous-groupe $B$ de $A$ normal dans $G$ et d’indice fini dans $G$.

(Indication : poser $\displaystyle B= \bigcap _{g\in G} gA g^{-1}$.)

Montrer qu’un groupe infini simple ne contient pas de sous-groupe propre d’indice fini.