Pour une élection, une population de \(N\) individus a eu à choisir entre voter pour le candidat \(A\) ou le candidat \(B\). On note \(m\) le nombre de personnes ayant voté pour \(A\). On interroge au hasard \(k\) individus différents dans cette population (\(1\leq k\leq N\)).
On désigne par \(a_1,\ldots, a_m\) les \(m\) personnes qui ont voté pour \(A\). Pour \(i\in\{1,\ldots,m\}\), on note \(X_i\) l’indicatrice de l’événement “la personne \(a_i\) est interrogée”. Quelle est la loi de \(X_i\) ?
Déterminer l’espérance ainsi que la matrice de covariance de \((X_{1},\ldots,X_{m})\).
On pose \(S=\sum_{i=1}^{m}X_i\). Quelle est la loi de \(S\) ?
Déterminer le nombre moyen de personnes votant pour \(A\) sur \(k\) personnes tirées au hasard.
Déterminer la variance de \(S\).