L2 Algèbre Groupe, anneau, corps Prépa MPSI · MP2I 4 questions

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Soit HH un sous-groupe de Sn{\cal S}_n d’ordre n!2\frac {n!}2. On note K=Sn∖HK = {\cal S}_n \setminus H.

1

Pour σ∈H\sigma \in H, montrer que σH=H\sigma H = H et σK=K\sigma K = K.

2

Soit σ∈Sn\sigma \in {\cal S}_n. Déterminer les ensembles σH\sigma H, σK\sigma K, HσH\sigma, KσK\sigma suivant que σ∈H\sigma \in H ou σ∈K\sigma \in K.

3

En déduire que si deux permutations sont conjuguées, alors elles sont toutes deux dans HH ou toutes deux dans KK.

4

Montrer enfin que H=AnH = {\cal A}_n.

Exercice TxJj

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