Soit \(H\) un sous-groupe de \({\cal S}_n\) d’ordre \(\frac {n!}2\). On note \(K = {\cal S}_n \setminus H\).
1
Pour \(\sigma \in H\), montrer que \(\sigma H = H\) et \(\sigma K = K\).
2
Soit \(\sigma \in {\cal S}_n\). Déterminer les ensembles \(\sigma H\), \(\sigma K\), \(H\sigma\), \(K\sigma\) suivant que \(\sigma \in H\) ou \(\sigma \in K\).
3
En déduire que si deux permutations sont conjuguées, alors elles sont toutes deux dans \(H\) ou toutes deux dans \(K\).
4
Montrer enfin que \(H = {\cal A}_n\).