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Soit $G$ un groupe fini de cardinal $p^k$ où $p$ est un nombre premier et $k\in\N^*$ . On note $Z$ le centre de $G$ .

En considérant l’action de $G$ sur lui-même par automorphismes intérieurs montrer que $\mathrm{Card}\,(Z) \equiv 0 \bmod p$ .

En déduire que tout groupe d’ordre $p^2$ , $p$ premier, est commutatif et est isomorphe soit à $\Z/p^2\Z$ soit à $(\Z/p\Z)^2$ .