Soit \(G\) un groupe fini de cardinal \(p^k\) où \(p\) est un nombre premier et \(k\in\N^*\). On note \(Z\) le centre de \(G\).
1
En considérant l’action de \(G\) sur lui-même par automorphismes intérieurs montrer que \(\mathrm{Card}\,(Z) \equiv 0 \bmod p\).
2
En déduire que tout groupe d’ordre \(p^2\), \(p\) premier, est commutatif et est isomorphe soit à \(\Z/p^2\Z\) soit à \((\Z/p\Z)^2\).