exo7 326

Dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, écrire l’ensemble des multiples de $\bar x$, classe de $x$, pour $x$ variant de $0$ à $n-1$ dans chacun des cas suivants : $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$.

Dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, montrer l’équivalence des trois propositions :

[i)] $\bar x$ est inversible ;

[ii)] $x$ et $n$ sont premiers entre eux ;

[iii)] $\bar x$ engendre $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, c’est à dire que l’ensemble des multiples de $\bar x$ est $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

La classe de $18$ est-elle inversible dans $\mathbb{Z}/49\mathbb{Z}$ ? Si oui, quel est son inverse ? (On pourra utiliser le théorème de Bézout).