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Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs. On note $d$ leur pgcd. Construisons les suites $a_n$ et $b_n$ $n \in \mathbb{N},$ à valeurs dans $\mathbb{Z}$ de la manière suivante : $\begin{aligned} a_0 &=& a\\ b_0 &=& b\\ \end{aligned}$ et pour tout $n \in \mathbb{N},$ on pose $a_{n+1}= b_n$ et $b_{n+1}= r$ où $r$ est le reste de la division euclidienne de $a_n$ par $b_n.$

Montrer que si $d_n$ est le pgcd de $a_n$ et $b_n$ alors $d_n$ est également le pgcd de $a_{n+1}$ et $b_{n+1}.$

Déduire de la questionh précédente que $d$ est le pgcd des nombres $a_n$ et $b_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}.$

Montrer que la suite $b_n$ est strictement décroissante. Que peut-on en déduire?

Déduire de ce qui précède que pour tout couple d’entiers relatifs $(a,b)$ il existe un couple d’entier relatifs $(u,v)$ tel que: $d = au+bv.$

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