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Dans le groupe $\mathcal{S}_7$ des permutations de l’ensemble fini $\{1,2,\cdots,7\}$ on considère les deux permutations $\alpha=(157)(43) \quad \text{ et } \quad \beta=(26).$

Montrer que $\alpha\beta=\beta\alpha$ .

Déterminer l’ordre de $\alpha$ et de $\beta$ .

Calculer $\alpha^{-1}$ et $\beta^{-1}$ .

Montrer que $S=\{\alpha^i\beta^j, 0\leq i \leq 5, 0\leq j\leq 1\}$ est un sous-groupe de $\mathcal{S}_7$ .

Calculer l’ordre de $S$ .

Montrer que tout sous-groupe de $\mathcal{S}_7$ qui contient $\alpha$ et $\beta$ contient $S$ .

Que peut-on déduire des questions 4. et 6. précédentes ?

Déterminer l’ordre de $\alpha\beta$ .

Le sous-groupe $S$ est-il cyclique ?

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