Dans le groupe \(\mathcal{S}_7\) des permutations de l’ensemble fini \(\{1,2,\cdots,7\}\) on considère les deux permutations \[\alpha=(157)(43) \quad \text{ et } \quad \beta=(26).\]
1
Montrer que \(\alpha\beta=\beta\alpha\).
2
Déterminer l’ordre de \(\alpha\) et de \(\beta\).
3
Calculer \(\alpha^{-1}\) et \(\beta^{-1}\).
4
Montrer que \(S=\{\alpha^i\beta^j, 0\leq i \leq 5, 0\leq j\leq 1\}\) est un sous-groupe de \(\mathcal{S}_7\).
5
Calculer l’ordre de \(S\).
6
Montrer que tout sous-groupe de \(\mathcal{S}_7\) qui contient \(\alpha\) et \(\beta\) contient \(S\).
7
Que peut-on déduire des questions 4. et 6. précédentes ?
8
Déterminer l’ordre de \(\alpha\beta\).
9
Le sous-groupe \(S\) est-il cyclique ?