$G=\{A_1,...,A_p\}$ est déjà une partie non vide de $GL_n(\Rr)$ , stable pour $\times$ . Il reste à vérifier que $G$ est stable pour le passage à l’inverse.

Soient $i\in\{1,...,n\}$ , puis $\begin{array}{cccc} \varphi_i~:&G&\rightarrow&G\\ &A&\mapsto&A_iA \end{array}$ . Puisque $G$ est stable pour le produit, $\varphi_i$ est une application de $G$ dans $G$ .

Montrons que $\varphi_i$ est injective. Soit $(A,B)\in G$ .

$\varphi_(A)=\varphi_i(B)\Rightarrow A_iA=A_iB\Rightarrow A_i^{-1}A_iA=A_i^{-1}A_iB\Rightarrow A=B.$

Donc, $\varphi_i$ est une application injective de l’ensemble fini $G$ dans lui-même. On sait alors que $\varphi_i$ est une permutation de $G$ .

Par $\varphi_i$ , $A_i$ a un antécédent $A$ dans $G$ . $A_iA=A_i$ fournit $A_i^{-1}A_iA=A_i^{-1}A_i$ puis $A=I\in G$ . Ainsi, $G$ contient la matrice $I$ . Ensuite, $I$ a un antécédent par $\varphi_i$ dans $G$ . Donc, il existe $B\in G$ telle que $A_iB=I$ . Mais alors $A_i^{-1}=B\in G$ .

$G$ est bien stable pour le passage à l’inverse et est donc un sous-groupe de $(GL_n(\Rr),\times)$ .

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