\(G=\{A_1,...,A_p\}\) est déjà une partie non vide de \(GL_n(\Rr)\), stable pour \(\times\). Il reste à vérifier que \(G\) est stable pour le passage à l’inverse.

Soient \(i\in\{1,...,n\}\), puis \(\begin{array}[t]{cccc} \varphi_i~:&G&\rightarrow&G\\ &A&\mapsto&A_iA \end{array}\). Puisque \(G\) est stable pour le produit, \(\varphi_i\) est une application de \(G\) dans \(G\).

Montrons que \(\varphi_i\) est injective. Soit \((A,B)\in G\).

\[\varphi_(A)=\varphi_i(B)\Rightarrow A_iA=A_iB\Rightarrow A_i^{-1}A_iA=A_i^{-1}A_iB\Rightarrow A=B.\]

Donc, \(\varphi_i\) est une application injective de l’ensemble fini \(G\) dans lui-même. On sait alors que \(\varphi_i\) est une permutation de \(G\).

Par \(\varphi_i\), \(A_i\) a un antécédent \(A\) dans \(G\). \(A_iA=A_i\) fournit \(A_i^{-1}A_iA=A_i^{-1}A_i\) puis \(A=I\in G\). Ainsi, \(G\) contient la matrice \(I\). Ensuite, \(I\) a un antécédent par \(\varphi_i\) dans \(G\). Donc, il existe \(B\in G\) telle que \(A_iB=I\). Mais alors \(A_i^{-1}=B\in G\).

\(G\) est bien stable pour le passage à l’inverse et est donc un sous-groupe de \((GL_n(\Rr),\times)\).

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