L2 Algèbre Groupe, anneau, corps Prépa MP · MPI 4 questions

exo7 3013

Soit AA un anneau commutatif et II un idéal de AA.

On note I={x∈A tq ∃ n∈N tq xn∈I}\sqrt{I} = \{ x \in A \text{ tq } \exists\ n \in \N \text{ tq } x^n \in I \} (radical de II).

1

Montrer que I\sqrt{I} est un idéal de AA.

2

Montrer que I=I\sqrt{\sqrt I} = \sqrt I.

3

Montrer que I∩J=I∩J\sqrt{I \cap J} = \sqrt I \cap \sqrt J et I+J⊃I+J\sqrt{I + J} \supset \sqrt I + \sqrt J.

4

Exemple : A=ZA = \Z, I=3648ZI = 3648\Z. Trouver I\sqrt I.

Exercice GX7v

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